初三自主招生教学案13：不定方程

不定方程 知识梳理： 形如 x+y=4，x+y+z=3， 11 =1 的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的 xy 解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解 或正整数解． 对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理 1．二元一次不定方程ax+by=c， （1）若其中（a，b）c，则原方程无整数解； （2）若（a，b）=1，则原 方程有整数解； （3）若（a，b）｜c，则可以在方程两边同时除以（a，b） ，从而使原方程的一次项系数互质，从 而转化为（2）的情形． 如：方程 2x+4y=5 没有整数解；2x+3y=5 有整数解． 定理 2．若不定方程 ax+by=1 有整数解 x  x0 x cx0 ，则方程 ax+by=c 有整数解，此解称为特解．方程 y  yy cy 00  方程 ax+by=c 的所有解（即通解）为 x cx0bk （k 为整数） ． y cy  ak 0  对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有： （1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】题型一：二元一次不定方程 例 1．求方程 4x+5y=21 的整数解． 同步练习： 练习 1．求方程 5x+3y=22 的所有正整数解． 1 1 / 9 9 例 2．求方程 63x+8y=－23 的整数解． 练习 2．求方程 37x+107y=25 的整数解． 题型二：多元一次不定方程（组）的整数解 多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明． 例 3．求方程 12x+8y+36z=100 的所有整数解． 练习 3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字 2，蓝球 上标有数字 3．小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数 最多为几个？ 题型三：其他不定方程 例 4．求不定方程 2 2 / 9 9 111 的正整数解． xy2 练习 4．求方程 x2－y2=105 的正整数解． 例 5．求方程 y2+3x2y2=30 x2+517 的所有正整数解 练习 5．求证方程 x3+113=y3没有正整数解． 3 3 / 9 9 例 6．求方程 x+y=x2－xy+y2的全部整数解． 练习 6．求方程 x2+y2=2x+2y+xy 的所有正整数解． 例 7．求方程 x6+3x3+1=y4的整数解． 练习 7．求方程 x2+x=y4+y3+y2+y 的整数解． 4 4 / 9 9 参考答案： 【例题精讲】题型一：二元一次不定方程 例 1．求方程 4x+5y=21 的整数解． x  1 x  21 解：因为方程 4x+5y=1 有一组解，所以方程 4x+5y=21 有一组解． y 1y  21   x  5k 又因为方程 4x+5y=0 的所有整数解为（k 为整数） ， y  4k  x  21 5k 所以方程 4x+5y=21 的所有整数解为（k 为整数） ． y  21 4k  x  1 x  1 5k 解析： 本题也可直接观察得到方程4x+5y=21 的一组特解， 从而得到 4x+5y=21 的通解（k y  5y 5 4k  为整数） ． 同步练习： 练习 1．求方程 5x+3y=22 的所有正整数解． x  1 解：方程 5x+3y=1 有一组解为 y  2  x  22 所以方程 5x+3y=22 有一组解为 y  44   x  3k 又因为 5x+3y=0 的所有整数解为，k 为整数 y  5k   x  3k  22 所以方程 5x+3y=22 的所有整数解为，k 为整数 y  5k  44   k  3k  22  0 由解得  5k  44  0  k   22 3 ，所以 k=8，原方程的正整数解为 x  2 ．  44 y  4 5 解析：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解） ，然后再求其中的 正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围． 若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法． 例 2．求方程 63x+8y=－23 的整数解． 解： （1）用 x、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． 5 5 / 9 9 （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1 为此． （4）逆序写出 1 的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解． x  1 x  23 所以方程 63x+8y=1 有一组特解，方程 63x+8y=－23 有一组特解，所以原方程的所 y 8y  823  x  238k 有整数解为，k 为整数． y  8 23 63k  练习 2．求方程 37x+107y=25 的整数解． 解：107=2×37+33 37=1×33+4 33=4×8+1 所以 1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26） x  26 x  2625 107k 所以方程 37x+107y=1 有一组整数解为，原方程的所有整数解为，k 为整数． y  9y 9 25 37k  题型二：多元一次不定方程（组）的整数解 多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明． 例 3．求方程 12x+8y+36z=100 的所有整数解． 解：原方程可化为 3x+2y+9z=25． 3x  2y t 将①分为t  9z  25  ② ③ ④ ⑤  x  t  x t  2k1 ②的一组解为，所以②的所有整数解为 y  ty  t 3k  1  t  7 t 7 9k2 ③的一组解为，所以③的所有整数解为 z  2 z  2 k2 k1为整数． ⑥ ⑦ k2为整数．  x  7  9k 2  2k1  将⑥代入④⑤，消去 t 得，y  7 9k 2 3k1（k1，k2为整数） ．  z  2  k 2  6 6 / 9 9 练习 3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字 1，黄球上标有数字 2， 蓝球上标有数字 3．小明从布袋中摸出 10 个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最 多为几个？ 解：