二次函数最值问题含标准答案

二次函数最值问题二次函数最值问题( (含答案含答案) ) ———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期： 2 2 二次函数最值问题二次函数最值问题 一．选择题（共一．选择题（共 8 8 小题）小题） 1．如果多项式 P=a2+4a+2014，则 P 的最小值是（） A．2010B．2011C．2012D．2013 2．已知二次函数 y=x2﹣6x+m 的最小值是﹣3，那么 m 的值等于（） A．10B．4C．5D．6 3．若二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3） ，则此函数有 （） A．最小值 2B．最小值﹣3C．最大值 2D．最大值﹣3 4．设 x≥0，y≥0，2x+y=6，则 u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y 的最大值是（） A．B．18C．20D．不存在 的图象如图所示，当﹣1≤x≤0 时，该函数的最大值5．二次函数 是（） A．3.125B．4C．2D．0 6．已知二次函数 y=（x﹣h）2+1（h 为常数） ，在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的 情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（） A．1 或﹣5 B．﹣1 或 5 C．1 或﹣3 D．1 或 3 7．二次函数 y=﹣（x﹣1）2+5，当 m≤x≤n 且 mn＜0 时，y 的最小值为 2m，最 大值为 2n，则 m+n 的值为（） A．B．2C．D． 8．如图，抛物线经过 A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，﹣4）三点，点D 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是（） 第第3 3页（共页（共8 8页）页） A．7B．7.5 C．8D．9 二．填空题（共二．填空题（共 2 2 小题）小题） 9．已知二次函数 y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数 y 的最小值是，最大 值是． 10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y 轴上， 点 M 在 x 轴负半轴上，S△ ABM=6．当线段 OM 最长时，点 M 的坐标为 ． 三．解答题（共三．解答题（共 3 3 小题）小题） 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 l：x=1，点 A（2，0） ，点 E，点 F， 点 M 都在直线 l 上， 且点 E 和点 F 关于点 M 对称，直线EA 与直线 OF 交于点 P． （Ⅰ）若点 M 的坐标为（1，﹣1） ， ①当点 F 的坐标为（1，1）时，如图，求点 P 的坐标； ②当点 F 为直线 l 上的动点时，记点 P（x，y） ，求 y 关于 x 的函数解析式． （Ⅱ）若点 M（1，m） ，点 F（1，t） ，其中 t≠0，过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q，当 OQ=PQ 时，试用含 t 的式子表示 m． 第第4 4页（共页（共8 8页）页） 12．已知关于 x 的函数 y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k 为常数） ． （1）试说明：不论 k 取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0） ； （2）在 x＞0 时，若要使 y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围； （3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时 k 的值；若不存在， 请说明理由． 13．函数 y=（m+2） （1）满足条件的 m 值； （2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x 为何值时，y 随 x 的增大而减小． 是关于 x 的二次函数，求： 第第5 5页（共页（共8 8页）页） 第第6 6页（共页（共8 8页）页） 二次函数最值问题（含答案）二次函数最值问题（含答案） 一．选择题（共一．选择题（共 8 8 小题）小题） 1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10． （﹣3，0） ； 三．解答题（共三．解答题（共 3 3 小题）小题） 11． 【解答】解： （Ⅰ）①∵点 O（0，0） ，F（1，1） ， ∴直线 OF 的解析式为 y=x．设直线 EA 的解析式为：y=kx+b（k≠0） 、 ∵点 E 和点 F 关于点 M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3） ． 又∵A（2，0） ，点 E 在直线 EA 上， ∴， 解得，∴直线 EA 的解析式为：y=3x﹣6． ，解得，∵点 P 是直线 OF 与直线 EA 的交点，则 ∴点 P 的坐标是（3，3） ． ②由已知可设点 F 的坐标是（1，t） ．∴直线 OF 的解析式为 y=tx． 设直线 EA 的解析式为 y=cx+d（c、d 是常数，且 c≠0） ． 由点 E 和点 F 关于点 M（1，﹣1）对称，得点 E（1，﹣2﹣t） ． 又点 A、E 在直线 EA 上， ∴，解得， ∴直线 EA 的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t） ． ∵点 P 为直线 OF 与直线 EA 的交点， ∴tx=（2+t）x﹣2（2+t） ，即 t=x﹣2．则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线 OF 的解析式为 y=tx． 直线 EA 的解析式为 y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m） ． ∵点 P 为直线 OF 与直线 EA 的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m） ， 化简，得 x=2﹣ ．有 y=tx=2t﹣ ∵PQ⊥l 于点 Q，得点Q（1，2t﹣ ．∴点 P 的坐标为（2﹣ ，2t﹣） ． ） ，∴OQ2=1+t2（2﹣ ）2，PQ2=（1﹣）2， ∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2， 化简，得 t（t﹣2m） （t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0， 第第7 7页（共页（共8 8页）页） ∴t﹣2m=0 或 t2﹣2mt﹣1=0，解得 m=或 m= 则 m=或 m=即为所求． ． 12.解： （1）将 x=﹣2 代入，得 y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0， 故不论 k 取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0） ． （2）①若 k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴k=0 符合题意． ②若 k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0） 、 （0，﹣2） ∴要使当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，开口向下，须满足 k＜0 即可． 综上，k 的取值范围是 k≤0． （3）若 k=0，此函数为一次函数 y=﹣x﹣2， ∵x 的取值为全体实数，∴y 无最小值， 若 k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3， 则 解得：k= =﹣3，且 k＞0， 符合题意，∴当 k=时，函数存在最小值﹣3． 13．解： （1）根据题意得 m+2≠0 且 m2+m﹣4=2， 解得 m1=2，m2=﹣3， 所以满足条件的 m 值为 2 或﹣3； （2）当 m+2＞0 时，抛物线有最低点，所以 m=2，抛物线解析式为 y=4x2， 所以抛物线的最低点为（0，0） ，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大； （3）当 m=﹣3 时，抛物线