中考数学与相似有关的压轴题含详细答案

中考数学与相似有关的压轴题含详细答案 一、相似一、相似 1．如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 点 C，顶点为 D 且它的坐标为（3，﹣1）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）连接 CD，过原点 O 作 OE⊥CD，垂足为 H，OE 与抛物线的对称轴交于点 E，连接 AE，AD，并延长 DA 交 y 轴于点 F，求证：△OAE∽ △ CFD； （3）以（2）中的点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点 P 作⊙E 的切线，切点为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标，并直接写出Q 的坐标． 【答案】（1）解：∵ 顶点 D 的坐标为（3，﹣1）． ∴， =﹣1， 解得 b=﹣3，c=， ∴ 抛物线的函数关系式：y= x2﹣3x+ ； （2）解：如答图 1，过顶点 D 作 DG⊥y 轴于点 G，则 G（0，﹣1），GD=3， 令 x=0，得 y=， ∴ C（0，）， ∴ CG=OC+OG= +1=， ∴ tan∠ DCG=， 设对称轴交 x 轴于点 M，则 OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣ 由 OE⊥CD，易知∠ EOM=∠ DCG， ∴ tan∠ EOM=tan∠ DCG= 解得 EM=2， ∴ DE=EM+DM=3， 在 Rt△ AEM 中，AM= 在 Rt△ ADM 中，AM= ，EM=2，由勾股定理得：AE= ，DM=1，由勾股定理得：AD= ； ． ， ）=， ∵ AE2+AD2=6+3=9=DE2 ， ∴ △ ADE 为直角三角形，∠ EAD=90°， 设 AE 交 CD 于点 P， ∵ ∠ AEO+∠ EPH=90°，∠ ADC+APD=90°，∠ EPH=∠ APD（对顶角相等）， ∴ ∠ AEO=∠ ADC， ∴ △ OAE∽ △ CFD （3）解：依题意画出图形，如答图2 所示： 由⊙E 的半径为 1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1， 要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2最小． 设点 P 坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2， ∵ y=（x﹣3）2﹣1， ∴ （x﹣3）2=2y+2， ∴ EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5， 当 y=1 时，EP2有最小值，最小值为 5． 将 y=1 代入 y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1， 解得：x1=1，x2=5， 又∵ 点 P 在对称轴右侧的抛物线上， ∴ x1=1 舍去， ∴ P（5，1）， ∴ Q1（3，1）； ∵ △ EQ2P 为直角三角形， ∴ 过点 Q2作 x 轴的平行线，再分别过点E，P 向其作垂线，垂足分别为M 点和 N 点， 设点 Q2的坐标为（m，n）， 则在 Rt△ MQ2E 和 Rt△ Q2NP 中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+ （n﹣1）2=4②， ①﹣②得 n=2m﹣5③， 将③代入到①得到， m1=3（舍），m2=， 再将 m=代入③得 n=， ∴ Q2（ ，）， 此时点 Q 坐标为（3，1）或（，） 【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及顶点坐标公式建立出关于 b,c 的二元一次 方程组，求解得出 b,c 的值，从而得出抛物线的解析式； （2）如答图 1，过顶点 D 作 DG⊥y 轴于点 G，则 G（0，﹣1），GD=3，根据抛物线与坐 标轴交点的坐标特点求出C 点的坐标，A 点坐标，进而得出 CG 的长，根据正切函数的定义 求出 tan∠ DCG= ，设对称轴交 x 轴于点 M，则 OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=， 根据同角的余角相等易知∠ EOM=∠ DCG，根据等角的同名三角函数值相等得出 tan∠ EOM=tan∠ DCG== 故解得 EM=2，DE=EM+DM=3，在 Rt△ AEM 中，由勾股定理得 AE 的长，在 Rt△ ADM 中，由勾股定理得 AD 的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ ADE 为直 角三角形，∠ EAD=90°，设 AE 交 CD 于点 P，根据等角的余角相等得出∠ AEO=∠ ADC，从而 判断出△ OAE∽ △ CFD； （3）依题意画出图形，如答图 2 所示：由⊙E 的半径为 1，根据切线性质及勾股定理，得 PQ2=EP2﹣1，要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2最小．设点 P 坐标为（x， y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2， 根据抛物线的解析式，整体替换得出 EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，当 y=1 时，EP2有最小值，最小值为 5．然后根据抛物 线上点的坐标特点将 y=1 代入抛物线的解析式，求出对应的自变量 x 的值，再检验得出 P 点的坐标，进而得出 Q1的坐标，由切割线定理得到 Q2P=Q1P=2，EQ2=1，设点 Q2的坐标为 （m，n），则在 Rt△ MQ2E 和 Rt△ Q2NP 中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①， （5﹣m）2+（n﹣1）2=4②， 由切割线定理得到 Q2P=Q1P=2，EQ2=1，将③代入到①得到，求解并检验得出 m,n 的值， 从而得出 Q2的坐标，综上所述即可得出答案。 2．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球. （1）球在地面上的影子是什么形状? （2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化? （3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是 3 m,球的半径是 0.2 m,则球在地面上影 子的面积是多少? 【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆. （2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小. （3）解：由已知可作轴截面，如图所示： 在 Rt△ OAE 中， ∴ OA= = = (m)， 依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF 于 H， ∵ ∠ AOH=∠ EOA，∠ AHO=∠ EAO=90°， ∴ △ OAH∽ △ OEA， ∴， ∴ OH= == (m)， 又∵ ∠ OAE=∠ AHE=90°，∠ AEO=∠ HEA， ∴ △ OAE∽ △ AHE， ∴ =， ∴ AH= ==2625 (m). 依题可得：△ AHO∽ △ CFO， ∴ AHCF=OHOF ， ∴ CF= AH⋅ OFOH = 2625×32425=64 (m)， ∴ S 影子 =π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2). 答：球在地面上影子的面积是0.375π m2. 【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆. （2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体 它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小. （3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质 对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积. 3．如图，已知抛物线 y＝﹣x2＋bx＋c 交 y 轴于点 A（0,4），交 x 轴于点 B（4,0），点 P 是抛物线上一动点，过点P 作 x