中考数学压轴题对称问题、双动点对称问题

（2014?济宁，第 22 题 11 分）如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（5，0） 、B （﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C； （1）求该抛物线的解析式； （2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说 明理由； （3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存 在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由． 分（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； 2 析： （2）首先求出对称点A′的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点A′是否在 抛物线上．本问关键在于求出A′的坐标．如答图所示，作辅助线，构造一对相 似三角形Rt△A′EA∽Rt△OAC，利用相似关系、对称性质、勾股定理，求出对称 点A′的坐标； （3）本问为存在型问题．解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式 求解．如答图所示，平行四边形的对边平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未 知数的代数式表示出PM的长度，然后列方程求解． 解 解： （1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0） 、B（﹣1，0）两点， 答： ∴，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣ ． （2）如答图所示，过点A′作A′E⊥x轴于E，AA′与OC交于点D， ∵点C在直线y=2x上，∴C（5，10） ∵点A和A′关于直线y=2x对称，∴OC⊥AA′，A′D=AD． ∵OA=5，AC=10， ∴OC= ∴AD= = ．∴AA′= = ， ．∵S△OAC=OC?AD=OA?AC， 在Rt△A′EA和Rt△OAC中，∵∠A′AE+∠A′AC=90°，∠ACD+∠A′AC=90°， ∴∠A′AE=∠ACD．又∵∠A′EA=∠OAC=90°， ∴Rt△A′EA∽Rt△OAC．∴，即． ∴A′E=4，AE=8．∴OE=AE﹣OA=3．∴点A′的坐标为（﹣3，4） ， 当x=﹣3 时，y= ×（﹣3）2+3﹣ =4．所以，点A′在该抛物线上． （3）存在．理由：设直线CA′的解析式为y=kx+b， 则，解得∴直线CA′的解析式为y=x+…（9 分） 设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣ ） ，则点M为（x，x+ ∵PM∥AC， ） ． ∴要使四边形PACM是平行四边形，只需PM=AC．又点M在点P的上方， ∴（x+）﹣（x2﹣x﹣ ）=10． 解得x 1=2，x2=5（不合题意，舍去） 当x=2 时，y=﹣ ． ∴当点P运动到（2，﹣ ）时，四边形PACM是平行四边形． 点本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相 评： 似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第 （2）问的要点是求对称点 A′的坐标，第（3）问的要点是利用平行四边形的定 义列方程求解． ． （2014?贵州黔西南州, 第 26 题 16 分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物 线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点，其顶点为D，连接 AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合） ，过点P作y轴的垂线，垂足点 为E，连接AE． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y） ，△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式， 直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连 接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′ 是否在该抛物线上． 第 1 题图 分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点， 则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D． （2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S △APE=?PE?yP，所以 S可 表示，进而由函数最值性质易得S最值． （3）由最值时，P为（﹣，3） ，则E与C重合．画示意图，P 过作P M⊥y 轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P 坐标．判断P′是否在 该抛物线上，将x P 坐标代入解析式，判断是否为 y P 即可． 解答：解： （1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0） 、B（1，0） 、C（0，3）三点， ，∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3∴，解得 ∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4） ． （2）∵A（﹣3，0） ，D（﹣1，4） ， ∴设AD为解析式为y=kx+b， 有 ∵P在AD上，∴P（x，2x+6） ， ∴S △APE=?PE?yP=?（﹣x）?（2x+6）=﹣x 2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1） ， 当x=﹣=﹣时，S取最大值． ， 解得， ∴AD解析式：y=2x+6， （3）如图 1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M， ∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3） ， ∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=， ∵PF∥y轴，∴∠PFE=∠FEN， ∵∠PFE=∠P′FE，∴∠FEN=∠P′FE，∴EN=FN， 设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m． 在Rt△P′EN中，∵（3﹣m）2+（）2=m2，∴m= ∵S△P′EN=?P′N?P′E=?EN?P′M，∴P′M= 在Rt△EMP′中，∵EM= ∴P′（ 当x= ， ） ． 时，y=﹣（）2﹣2?+3=≠， ． =，∴OM=EO﹣EM=， ． ∴点P′不在该抛物线上． 点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用 勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练 习巩固． （2014?攀枝花，第 24 题 12 分）如图，抛物线 y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为（﹣6，0） ，且∠ACD=90°． （1）请直接写出 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标及周长的 最小值；若不存在，说明理由； （4）平行于 y 轴的直线 m 从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动，到点 A 停止．设直线 m 与折线 DCA 的 交点为 G，与x 轴的交点为 H（t，0） ．记△ACD 在直线 m 左侧部分的面积为 s，求s 关于 t 的函数关 系式及自变量 t 的取值范围． 分析： （1）令 y=ax2﹣8ax+12a=0，解一元二次方程，求出点A、B 的坐标； （2）由∠ACD=90°可知△ACD 为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a 的值，进而求 出抛物线的解析式； （3） △PAC的周长=AC+PA+PC， AC 为定值， 则当 PA+PC取得最小值时， △PAC的周长最小． 设 点 C 关于对称轴的对称点为 C′，连接 AC′与对称轴交于点 P，由轴对称的性质可知点 P 即 为所求； （4）直线 m 运动过程中，有两种情形，需要分