数学分析二册答案幂级数

精品文档---下载后可任意编辑 §幂级数的收敛半径与收敛域 1．求下列各幂级数的收敛域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 解（1）由，故收敛半径,收敛域为． （2）由，故收敛半径． 在，级数为，发散；在，级数为，由交错级数的Leibniz判别法，知其收敛，因而收敛域为． （3），所以收敛半径．由于 ， 故在级数发散，因此收敛域为． （4）由，知收敛半径． 在，级数为绝对收敛，故收敛域为. （5）由，故收敛半径． 在，级数，将其奇偶项分开，拆成两个部分，分别为和，前一项级数发散，后一项级数收敛，因此级数发散； 同样，时，级数为，也可拆成两部分，前一部分为，另一部分，前者发散，后者绝对收敛，因此级数发散，所以收敛区域是． （6），所以级数的收敛半径是． 当时，级数为发散；当时，级数为收敛． 因此，收敛域为即. （7），所以收敛半径． 当时，级数为，由于，故由Raabe判别法，知级数发散； 当时，级数为（实际上，由其绝对收敛立知其收敛），这是交错级数，由于 ， 故单调下降，且由（用数学归纳法证之）及夹迫性知，由Leibniz判别法，知收敛，所以收敛域为． （8），所以收敛半径． 由于，故级数在发散，因而收敛域为． （9），所以． 在，级数为，由Leibniz判别法，知其收敛；在，级数为发散，故收敛域． （10），所以． 在，由于，即级数一般项当n时不趋于0，因此级数发散，故收敛域． （11），因此． 在，级数为，因为级数一般项的绝对值为 对一切成立，所以，即级数发散，因此收敛域为． （12） 因为，所以． 而在，由于，故级数在均发散，因而收敛区间为． （13）因为，所以． 又在，显然级数均发散，故收敛域为． （14）由于，故，均绝对收敛，因而收敛半径，收敛域． （15）因为（），所以，收敛域为． （16），所以． 在，级数变为，故当时都收敛；时，收敛，而发散，时一般项不趋于0，均发散．因此，当时，收敛域； 时，收敛域为；而当时, 收敛域为． 2．设幂级数的收敛半径为,的收敛半径为，讨论下列级数的收敛半径： （1）； （2）； （3）． 解（1）由题设，所以，故当,即时，级数绝对收敛，而当，即时，级数发散，因此级数的收敛半径为． （2）收敛半径必，而不定，需给出，的具体表达式才可确定，可以举出例子． （3），所以收敛半径为，只有当中一个为0，另一个为时，不能确定，需看具体，来确定，可以是中任一数． 3．设，求证：当时，有 （1）收敛； （2）． 证明（1）=，而由于，故数列单调递减趋于0，级数的部分和数列有界，由Dirichlet判别法，级数收敛． (2) 设的部分和为，则由Abel变换，有 ， 所以，． §13.2 幂级数的性质 1．设当时收敛，那么当收敛时有 ， 不论当时是否收敛． 证明由于幂级数的收敛半径至少不小于，且该幂级数在收敛，因而该幂级数在一致收敛（Abel第二定理），因此该幂级数的和函数在连续，即．又，由于当时收敛，故可逐项积分，即，即，令取极限即有． 2．利用上题证明． 证明，故，，而级数是收敛的，利用上题结论，就有． 3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 解（1）因为 ，所以当时，,即，且当时，级数收敛，由Abel第二定理，有． （2）设，则，逐项积分，有 ， 所以，，即． （3）设，，则有 ， 所以，，． （4）设，，则 ，， ，， 所以， ，， ，． （5）设，． 由于，所以，，故． （6）设，，则，所以， ， ， 则（在理解为极限值）． （7）令,则，所以， ， 故，因此（在理解为极限值）． （8），收敛半径，在，有 ， 由于，故级数发散．可得 ，． （9）设，则有 ， 所以， ， 即，所以，． （10）设，则有（逐项积分）， 所以， ， ， 则． 4.求下列级数的和： （1）； （2）． 解（1）考虑级数，．由于，逐项积分，，所以， ，． 故有 ． （2）设，则级数在绝对收敛，所以， ，，． 因此， ， ，． ． 5．证明： (1)满足方程； (2)满足方程． 解（1）对级数，由，故收敛半径，收敛域为，而实行用逐项求导得， ， 即满足方程． （2）级数收敛域为，设，通过逐项求导得， ， ， 所以， ， 即满足方程． 6．设是幂级数在上的和函数，若为奇函数，则级数中仅出现奇次幂的项；若为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项． 证明由于，． ，由是奇函数，即，得 ， 故，有，故当为偶数时，即级数中偶次幂系数均为0，因此级数中仅出现奇次幂的项． 同样，若为偶函数，即，得，故，有，当为奇数时，有，即级数中奇次幂的系数均为0，因此级数中仅出现偶次幂的项． 7．设．求证： （1）在连续，在内连续； （2）在点可导； （3）； （4）在点不可导； 证明（1）由于，而级数收敛，由M判别法，知级数在一致收敛，而级数的每一项为幂函数在连续，故和函数在连续． 又级数的收敛半径为，因此在内，其和函数连续． （2）幂级数在成为，由Leibniz判别法，知级数收敛，由Abel第二定理，幂级数在一致收敛，因而其和函数在右连续，因此存在，且． （3）． （4）因为 ， 故在点不可导． § 1．利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为Maclaurin级数，并说明收敛区间． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）． 解（1） （） （）． （2） ，． （3） ，． （4） ，． （5） ，． （6） （） ，． （7） （） （） （） ，． （8） （） ，， 所以， ，， 即． （9） （且） ，． （10）（） ，， 所以， ，． 在，由于 ， 用Raabe判别法知右端级数收敛，因而收敛区间为． （11） ，． （12） ，． （13） ，． （14） ，． 2．利用幂级数相乘求下列函数的Maclaurin展开式： （1）； （2）； （3）． 解（1） ，． （2） ，． （3） ，． 3．将下列函数在指定点展开为Taylor级数： （1）； （2）； （3）； （4）． 解（1） ，． （2） ，． （3）（） ，． （4），． 4．展开 为的幂级数，并推出． 解 ，， 所以，． 5．