数学分析反常积分

精品文档---下载后可任意编辑 一、 知识结构 我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面讨论积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要讨论它的计算问题,而对反常积分, 主要讨论它的收敛问题. 1、 一元函数的反常积分 (1) 一元函数反常积分的概念和定义 我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间或有限闭区域，假如将积分区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点）或，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间换成无限区间或非闭区间（是被积函数的瑕点,即函数在点处无界）. 定义1 函数在无限区间连续，则定义，假如极限存在，我们称反常积分收敛. 定义2 函数在非闭区间连续，而在点右邻域内无界（是被积函数的瑕点）即函数在点无界，则定义,假如极限存在，我们称反常积分收敛. 函数在点右邻域内无界的意思是：.注意: 函数在点没有定义,但函数在点右极限可以存在,这时不是被积函数的瑕点. 例如,函数在点处没有定义,但,所以不是积分 的瑕点. 不是反常积分. 将积分看作推广的黎曼积分. 因为, 假如被积函数在闭区间上仅有有限个第一类间断点, 则积分为推广的黎曼积分,它也是收敛的. 定义3函数在开区间内连续，都是函数的瑕点，则定义 ,假如极限和均存在，我们称反常积分收敛. 定义4 函数在无限区间连续，是函数的瑕点，则定义 ,假如极限和均存在，我们称反常积分收敛. ②积分区域无限且被积函数有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论. 例 讨论积分和的敛散性. 解 显然和均发散. 在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明). 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明). 在区间上, 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像上方,这时发散(请同学给出证明). 当时, 函数, 即前者的图像在后者的图像下方,这时收敛(请同学给出证明). 结论: 和 (1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若与收敛, 则也收敛, 且. (b)若在任何有限闭区间上可积,, 则与同敛态(同时收敛或同时发散),并且. (c) 若在任何有限闭区间上可积, 且有收敛，则收敛，且. 当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. ②无穷积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对无穷积分的敛散性用以下准则可以作出推断. 定理1(柯西收敛准则) 无穷积分收敛的充要条件是: 对, , , 当时, 有. 无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则 定理2(比较法则) 设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,且满足,,则当收敛时必收敛; 当发散时必发散. 考虑当收敛时必收敛是否正确? 当发散时必发散是否正确? 推论1设定义在上的两个函数和都在任何有限区间上可积,, 且, 则有 ①当时, 与同敛态; ②当时, 由收敛可推知也收敛; ③当时, 由发散可推知也发散. 利用不等式，即可证上述结论. 推论2设是定义在()的函数,且在任何有限区间上可积,则有: ①当,,且时, 收敛; ②当,,且时, 发散. 利用结论 可证上述结论. 推论3设是定义在()的函数,在任何有限区间上可积,且 , 则有: ①当时, 收敛; ②当时, 发散. 利用不等式，即可证上述结论. (c) 狄利克雷判别法 定理3(狄利克雷判别法) 若在上有界,在上当时单调趋于,则收敛(了解). (d) 阿贝尔(Abel)判别法 定理4(阿贝尔(Abel)判别法) 若收敛，在上单调有界,则收敛(了解). (2) 瑕积分的性质与收敛判别 ①瑕积分的性质 (a) 若与都以为瑕点，为常数，则当瑕积分与收敛时, 瑕积分必定收敛, 且. (b) 设函数以为瑕点，为任一常数，则瑕积分与同敛态(同时收敛或同时发散),并且，其中为定积分. (c) 设函数以为瑕点， 若在的任一内闭区间上可积,则当收敛时，也必收敛，且. 当收敛时, 称绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛. ②瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对瑕积分的敛散性用以下准则可以作出推断. 定理1(柯西收敛准则) 瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是: 对, , , 当时, 有. 瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则 定理2(比较法则) 设定义在上的两个函数和，瑕点同为，和都在任何有限区间上可积,且满足,,则当收敛时必收敛; 当发散时必发散. 考虑当收敛时必收敛是否正确? 当发散时必发散是否正确? 推论1又若, 且, 则有 ①当时, 与同敛态; ②当时, 由收敛可推知也收敛; ③当时, 由发散可推知也发散. 利用不等式，即可证上述结论. 推论2设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积，则有: ①当,且时, 收敛; ②当,且时, 发散. 利用结论 可证上述结论. 推论3设是定义在的函数,瑕点为， 且在任何有限区间上可积，且, 则有: ①当时, 收敛; ②当时, 发散. 2、多元函数的反常积分 (1)积分区域无限且被积函数没有瑕点 ①函数在无限区域上的反常积分 定义5 函数在无限区域连续，则定义,假如极限存在， 我们称反常积分收敛. ② 函数在无限区域上的反常积分 定义6 函数在无限区域连续，则定义,假如极限存在， 我们称反常积分收敛. 由于式中的积分上限中的与被积函数中的不同,所以常常表示为. 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数的积分, 即,其中. ③ 函数在无限区域上的反常积分 (请同学给出其定义). ④ 函数在无限区域上的反常积分(请同学给出其定义). ⑤ 函数在无限区域上的反常积分(请同学给出其定义). ,函数是随机变量的概率密度函数,表示随机变量的分布函数,则概率 ,, , 其中,分别称为边缘概率密度函数, ,分别称为边缘分布函数. 例如(考研2024年数学一)设二维随机变量的概率密度函数为 ,,, 求常数及条件概率密度. 解: 因为,所以 作变量替换，，，即. 则. 所以, 进而. 注: 由余元公式得:. 还可以用以下方法计算.余元公式的证明过程很繁杂,在此证明略. 先计算, 其中区域: . 因为, . 则 , 即. 令, . 则. 令, . 则. 所以. 因为, , 所以, 进而. 上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法. (2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别 3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握） (1) 含参量反常积分的概念和定义 (2) 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算