数学北京市各区二模试题分类解析导数及其应用

精品文档---下载后可任意编辑 1、（2024丰台二模文11）若，则函数的单调递增区间是（0，π）（开闭均可）． 2、（2024海淀二模文14）已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示: ①若，则 1 ； ②设函数则的 大小关系为.（用“<”连接） 1、(2024朝阳二模理18)（本小题满分13分） 设函数，. （Ⅰ）若，求函数在上的最小值； （Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围； （Ⅲ）求函数的极值点. 解：（Ⅰ）的定义域为.……………………………1分 因为，所以在上是增函数， 当时，取得最小值. 所以在上的最小值为1. ……………………………3分 （Ⅱ）解法一： 设，……………………………………4分 依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立. ……………5分 注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可 ……………………………………6分 由，即，得， 由，即，得， 所以， 所以实数的取值范围是.……………………………………8分 解法二：，……………………………4分 依题意得，在区间上存在子区间使不等式成立. 又因为，所以.……………………………………5分 设，所以小于函数在区间的最大值. 又因为， 由解得； 由解得. 所以函数在区间上递增，在区间上递减. 所以函数在，或处取得最大值. 又，，所以， 所以实数的取值范围是.……………………………………8分 （Ⅲ）因为，令 ①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………9分 ②当时， （ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点；……………………………………10分 （ⅱ）当，即时， 易知，当时，，这时； 当或时，，这时； 所以，当时，是函数的极大值点；是函数的微小值点.……………………………………12分 综上，当时，函数没有极值点； 当时，是函数的极大值点；是函数的微小值点.……… 2、（2024昌平二模理19）.(本小题满分14分) 已知函数（）. （Ⅰ）求函数的单调区间; (Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求 的取值范围。 解：（I）……2分 当 即 f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,………4分 当， 即 f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，） ……6分 （II）得 ……8分 +3 ……9分 ………10分 ……11分 ……12分 即： 3、 (2024东城二模理18)（本小题共13分） 已知函数()． （Ⅰ）若，求证：在上是增函数； （Ⅱ）求在[1，e]上的最小值． （Ⅰ）证明：当时，， 当时，， 所以在上是增函数．………………5分 （Ⅱ）解：，当，． 若，则当时，， 所以在上是增函数， 又，故函数在上的最小值为． 若，则当时，， 所以在上是减函数， 又，所以在上的最小值为． 若，则当时，，此时是减函数； 当时，，此时是增函数． 又， 所以在上的最小值为． 综上可知，当时，在上的最小值为1； 当时，在上的最小值为 当时，在上的最小值为．… 4、（2024丰台二模理18）.（本小题共13分） 已知函数． （Ⅰ）若在处取得极值，求a的值； （Ⅱ）求函数在上的最大值． 解：（Ⅰ）∵，∴函数的定义域为．………………1分 ∴．………………3分 ∵在处取得极值， 即， ∴．………………5分 当时，在内，在内， ∴是函数的微小值点．∴．………………6分 （Ⅱ）∵，∴．………………7分 ∵x∈，∴， ∴在上单调递增；在上单调递减，………………9分 ①当时，在单调递增， ∴；………………10分 ②当，即时，在单调递增，在单调递减， ∴；………………11分 ③当，即时，在单调递减， ∴．………………12分 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是 5、（2024海淀二模理18） (本小题共14分） 已知函数 （I）当时，求曲线在处的切线方程（）； （II）求函数的单调区间. 解：（I）当时，，， ………………………2分 所以，， ………………………4分 所以曲线在处的切线方程为.………………………5分 （II）函数的定义域为 ，…………………………6分 ①当时，，在上，在上 所以在上单调递增，在上递减； ……………………………………………8分 ②当时，在和上，在上 所以在和上单调递增，在上递减；………………………10分 ③当时，在上且仅有， 所以在上单调递增； ……………………………………………12分 ④当时，在和上，在上 所以在和上单调递增，在上递减……… 6、（2024顺义二模理18）.（本小题满分13分） 设函数。 （1） 若函数在处取得极值，求的值； （2） 若函数在区间内单调递增，求的取值范围； （3） 在（1）的条件下，若为函数图像上任意一点，直线与的图像切于点P，求直线的斜率的取值范围。 解（1） 由题意得，即，所以……………………………3分 （2） 当，函数在区间内不可能单调递增………….4分 当时， 则当时，，函数单调递增，故当且仅当时， 函数在区间内单调递增，即时，函数在内单调递增。 故所求的取值范围是………………………………………………8分 （3）直线在点P处的切线斜率 …………………………………….10分 令则 所以 故当时，；时， 所以直线的斜率的取值范围是 7、（2024西城二模理18）.（本小题满分14分） 已知函数，其中为自然对数的底数. （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数存在一个极大值点和一个微小值点，且极大值与微小值的积为，求的值. 解：（Ⅰ），………………3分 当时，， ，， 所以曲线在处的切线方程为， ………………5分 切线与轴、轴的交点坐标分别为，， ………………6分 所以，所求面积为. ………………7分 （Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个微小值点， 所以，方程在内存在两个不等实根，………………8分 则………………9分 所以. ………………10分 设为函数的极大值点和微小值点， 则，，………………11分 因为，， 所以，，………………12分 即，，， 解得，，此时有两个极值点， 所以. 8、（2024昌平二模文18） (本小题满分14分) 设函数 （Ⅰ）若函数在处取