中考数学命题人说题

浅析中考数学题，践行数学核心素养 恩施州清江外国语学校 刘玉兰 中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的 人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面。恩施及周边县市中考压轴题均 是函数和几何的综合应用类型题， 这类题很好的将函数与平面直角坐标系、 动态几何结合在 一起，对知识的考查较全面，对学生的数学知识的灵活运用考查性很强，难度较大.这类题 设计优美，新颖独特，灵活多变，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。 一、原题呈现一、原题呈现 如图，已知抛物线y=a（x+3） （x﹣1） （a≠0） ，与x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一个交点为D． （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求 点 P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段 AD 上的一点（不含端点） ，连接BE．一动点Q 从点 B 出发， 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E， 再沿线段 ED 以每秒个单位的速度 运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 二、背景出处二、背景出处 本题选自“2016 年湖北随州中考数学”第25 题。本题主要考查学生对二次函数的图像 和性质，一次函数的图像和性质，相似三角形，图形中的动点问题，最短路径问题和三角函 数等的综合应用. 已知条件：已知条件： 含待定系数的抛物线解析式和直线解析式， 第（1）问中告诉了 D 点的横坐标；第（2） 问中确定了 P 点在第三象限的抛物线上；第（3）问是在（1）的条件下可以确定点D 的坐 标以及点 E 的横纵坐标关系。 隐含条件：隐含条件： 由抛物线的两点式可确定A（-3，0） ，B（1，0） ，C（0，-3a） 。 第（1）问中点 D 在直线 AD 上，所以点 D 的坐标满足直线的解析式；第（2）问中 P 点的横坐标小于-3 且∠BAP90°；第（3）问中明确了是在（1）的条件下，所以（1）中 的结论可以直接作为已知条件， 也就确定了抛物线的解析式， 求最短时间转化为最短路径问 题。 重难点：重难点： 二次函数两点式与图像交点坐标关系，相似比的应用，最短路径的思想确定动点位置。 数值“ 2 3 ”的正确应用。 3 易错点：易错点： 解第（2）问时易将第 （1）的结论拿来直接用； 对“以 A、B、P 为顶点的三角形与△ABC 相似”理解片面化，题意并非△ABP~△ABC。因此要考虑全面，加入隐含条件∠BAP90°， 则可分为△BPA△△ABC 和△PBA△△ABC 两种情况进行讨论。 三、解题策略三、解题策略 第（1）问根据二次函数的交点式确定点A、B 的坐标，求出直线的解析式，求出点D 的坐标，求出抛物线的解析式； 第（2）问作 PH△x 轴于 H，设点 P 的坐标为（m，n） ，分△BPA△△ABC 和△PBA△△ABC， 根据相似三角形的性质计算即可； 第（3）问作 DM△x 轴交抛物线于 M，作 DN△x 轴于 N，作 EF△DM 于 F，根据正切、 正弦的定义求出 Q 的运动时间 t=BE+EF 时，t 最小即可． 四、解题过程四、解题过程 解： （1）△y=a（x+3） （x﹣1） ， △点 A 的坐标为（﹣3，0） 、点 B 两的坐标为（1，0） ， △直线 y=﹣x+b 经过点 A， △b=﹣3， △y=﹣x﹣3， 当 x=2 时，y=﹣5， 则点 D 的坐标为（2，﹣5） ， △点 D 在抛物线上， △a（2+3） （2﹣1）=﹣5， 解得，a=﹣， 则抛物线的解析式为 y=﹣（x+3） （x﹣1）=﹣x2﹣2 （2）如图，作 PH△x 轴于 H， 设点 P 的坐标为（m，n） ， 当△BPA△△ABC 时，△BAC=△PBA， △tan△BAC=tan△PBA，即 △= =， x+3； ，即 n=﹣a（m﹣1） ， △， 解得，m1=﹣4，m2=1（不合题意，舍去） ， 当 m=﹣4 时，n=5a， △△BPA△△ABC， △ △42= 解得，a1= 则 n=5a=﹣ =，即 AB2=AC•PB， •， （不合题意，舍去） ，a2=﹣ ， ） ； ， △点 P 的坐标为（﹣4，﹣ 当△PBA△△ABC 时，△CBA=△PBA， △tan△CBA=tan△PBA，即 △= =， ，即 n=﹣3a（m﹣1） ， △， 解得，m1=﹣6，m2=1（不合题意，舍去） ， 当 m=﹣6 时，n=21a， △△PBA△△ABC， △ △42= 解得，a1= =，即 AB2=BC•PB， •， ，（不合题意，舍去） ，a2=﹣ ） ，则点 P 的坐标为（﹣6，﹣ 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣） ； （3）如图，作 DM△x 轴交抛物线于 M，作 DN△x 轴于 N，作 EF△DM 于 F， 则 tan△DAN= △△DAN=60°， △△EDF=60°， △DE==EF， ==， △Q 的运动时间 t=+=BE+EF， △当 BE 和 EF 共线时，t 最小， 则 BE△DM，y=﹣4． 五、引申拓展五、引申拓展 （（20162016 年湖北黄冈中考数学模拟年湖北黄冈中考数学模拟 B B 卷第卷第 2424 题）题）如图，直线 y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别交 B， B， 于点 A、对称轴为直线 x=2 的抛物线经过点 A、并与 x 轴交于另一点 C， 其顶点为 P． （1）求抛物线的解析式； （2） 抛物线的对称轴上有一点Q， 使△ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形， 求 Q 点的坐标； （3）在直线 BC 的下方的抛物线上有一动点M，其横坐标为 m，△MBC 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求 S 的最大值及此时点 M 的坐标； （4）平行于 BC 的动直线分别交△ABC 的边 AC、AB 与点 D、E，将△ADE 沿 DE 翻折， 得到△FDE，设DE=x，△FDE 与△ABC 重叠部分的面积为 y，直接写出y 与 x 的函数关系 式及自变量 x 的取值范围． 【解答】【解答】解： （1）∵直线 y=﹣3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， ∴A（1，0） ，B（0，3） ． 又∵抛物线的对称轴为直线x=2， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点 C 的坐标为（3，0） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x﹣1） （x﹣3） ， ∵抛物线经过点 B（0，3） ， ∴3a=3， 解得 a=1， ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3； （2）如图1，设Q 点的坐标为（2，e） ，对称轴x=2 交 x 轴于点 T，过点B 作 BR 垂直于直 线 x=2 于点 R． 在 Rt△AQT 中，AQ2=AT2+QT2=1+e2， 在 Rt△BQR 中，BQ2=BR2+RQ2=4+（3﹣e）2， ∵AQ=BQ， ∴1+e2=4+（3﹣e）2， 解得：e=2， ∴Q 点的坐标为（2，2） ； （3）如图