中考备考动点最值问题将军饮马,胡不归,瓜豆,隐圆

中考备考中考备考 动点最值问题动点最值问题 在中考中，一定会碰到求最值的问题，最常见的是形如“PA+kPB”的形式或者直接求一个 线段的最大（小）值． 【核心考点【核心考点 1 1】将军饮马】将军饮马 【一动两定】 如图，在直线上找一点P 使得 PA+PB 最小？ B A P 解：作点 A 关于直线的对称点A’，连接 PA’，则 PA’=PA，所以 PA+PB=PA’+PB 当 A’、P、B 三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短） B A 端点 P折点 A 【一定两动】 在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得△PMN 周长最小． A P M A P B O M P B P O N N 此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线） 、OB（折点 N 所在直线） 的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 P’M+MN+NP’’，当 P’、M、N、P’’共线时，△PMN 周 长最小． 中考最前沿中考最前沿 1 1 1． （2020•恩施州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 上且 BE＝1，F 为对角线 AC 上一动点，则△BFE 周长的最小值为（） A．5 2． （2020•永州）∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB 内有一点 P（4，3） ，M，N 分别是 OA，OB 边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN 周长的最小值是． B．6C．7D．8 【核心考点【核心考点 2 2】胡不归与阿氏圆】胡不归与阿氏圆 最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如 PA+PB 最值，这类问题就是我们非常熟悉的 将军饮马问题，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”（k≠1）这样的式子的最值， 此类 式子一般可以分为两类问题： （1）胡不归问题； （2）阿氏圆． 当点 P 的运动轨迹在一条直线上时， 称为胡不归问题， 而当点 P 的运动轨迹在一个圆上， 称 为为“阿氏圆” ． 胡不归问题：胡不归问题： 如图， 一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1， 在直线 MN 上运动的速度为 V2， 且 V1V2， A、B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 ACBC 的值最小． V 2 V 1 B V1 MN AV2C 【问题分析】 VACBC 1  V = BC  1AC，记k 1， V 2 V 1 V 1  V 2 V 2  即求 BC+kAC 的最小值． 【问题解决】 构造射线 AD 使得 sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC． B M sinα= A CH AC α =k H C N D CH=kAC 将问题转化为求 BC+CH 最小值，过 B 点作 BH⊥AD 交 MN 于点 C，交 AD 于 H 点，此时 BC+CH 取到最小值，即 BC+kAC 最小． B M A α H C N D 阿氏圆：阿氏圆： 如下图，已知A、B 两点，点P 满足 PA：PB=k（k≠1） ，则满足条件的所有的点P 构成的图 形为圆． P A BO 中考最前沿中考最前沿 2 2 1． （2020•新疆）如图，在△ABC 中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若 D 是 BC 边上的 动点，则 2AD+DC 的最小值为． 2． （2017 春•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为 4，点 P 为正方形内部（含边 上）的任意一点，且 BP＝2，分别连接 PC、PD，则 PD+PC 的最小值为． 【核心考点【核心考点 3 3】瓜豆原理】瓜豆原理 在此类题目中，题目或许先描述的是动点 P，但最终问题问的可以是另一点 Q，当然 P、Q 之间存在某种联系，从P 点出发探讨 Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路． 【例】如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且 AP=2AQ，当P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹 是？ Q P AO 【分析】考虑 AP⊥AQ，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AM⊥AO； 考虑 AP:AQ=2:1，可得 Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO:AM=2:1． 即可确定圆 M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为 2． M Q P AO 【模型总结】 为了便于区分动点 P、Q，可称点 P 为“主动点”，点 Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值） ； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值） ． 中考最前沿中考最前沿 3 3 1． （2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x 与双曲线 y＝交于 A、B 两点， P 是以点 C（2，2）为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP，Q 为 AP 的中点．若线 段 OQ 长度的最大值为 2，则 k 的值为（） A．﹣ 2． （2020•泰安）如图，点A，B 的坐标分别为 A（2，0） ，B（0，2） ，点 C 为坐标平面内一 点，BC＝1，点 M 为线段 AC 的中点，连接 OM，则 OM 的最大值为（） B．﹣C．﹣2D．﹣ A．+1B．+C．2+1D．2﹣ 【核心考点【核心考点 4 4】隐圆】隐圆 定弦定角定弦定角 有一固定线段 AB 以及线段 AB 所对的∠C 大小也固定，根据圆的知识，可知 C 点并不是唯 一固定的点，C 点在圆 O 的优弧 ACB 上均可（至于是优弧，还是劣弧或者半圆，取决于∠ C 的大小，∠C 为锐角，在优弧上；∠C 为直角，在半圆上；∠C 为钝角，在劣弧上） ． 中考最前沿中考最前沿 4 4 1． （2020•大庆）如图，等边△ABC 中，AB＝3，点 D，点 E 分别是边 BC，CA 上的动点， 且 BD＝CE，连接AD、BE 交于点 F，当点D 从点 B 运动到点 C 时，则点F 的运动路径 的长度为． 2． （2020•绵阳）如图，四边形ABCD 中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点 M 是四边形 ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M 到直线 BC 的距离的最小 值为． 【核心考点【核心考点 5 5】中考前瞻】中考前瞻 1． （2020•内江）如图，在矩形ABCD 中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N 分别是线段 DB、AB 上的两个动点，则 AM+MN 的最小值为． 2． （2019•泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动 点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（） A．2B．4C．D． 3． （2017 春•雁塔区校级月考）如图，正方形ABCD 的边长为 4，点 P 为正方形内部（含边 上）的任意一点，且 BP＝2，分别连接 PC、PD，则 PD+PC 的最小值为．