中考专题复习线段和差的最大值与最小值

中考专题中考专题------------线段和（差）的最值问题线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。一、两条线段和的最小值。 基本图形解析基本图形解析： 一）一） 、已知两个定点：、已知两个定点： 1 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、B 在直线 m 两侧： （2）点 A、B 在直线同侧： A、A’ 是关于直线 m 的对称点。 2 2、、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB （1）两个点都在直线外侧： （2） 一个 （3）两 B B A A m m A A P P B B m m 最小。 A A m m P PA A m m 点在内侧， 一个点在外 个点都在内侧： m m n n P P 侧： B B Q QB B B B Q Q P P Q Q n n n n （4） 、 B B A A 台球两次碰壁模型 n n 变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的 A A n n A A B B D D 内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最 短. E E B B m m 填空：最短周长 =________________ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, n n 在直线 m、 A A A A Q Q P P A“A“ m m n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短. 二）二） 、一个动点，一个定点：、一个动点，一个定点： （一）动点动点在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： （二）动点在圆上运动 点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和 点 B） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： O O 三）三） 、已知A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个 B B A A P P m m A A 动 P、点， P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长度恒定,在直线 m 上要求 Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识 解) （1）点 A、B 在直线 m 两侧： 过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长， 即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。 （2）点 A、B 在直线 m 同侧： 练习题练习题 1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点， 求△PQR周长的最小值为． 2 2、、如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4,∠ 别是BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M,N 分 Q AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=5 2， ∠BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的 最小值是多少 4、如图 4 所示，等边△ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,EM+CM 的最小值为. 5 5、、如图 3，在直角梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6， 点 P 是 AB 上一个动点，当 PC＋PD 的和最小时，PB 的长为__________． 6 6、、如图 4，等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点 EF 直线上的一点，则 PA+PB 的最小值为． 7 7、、如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的 一个动点，则 PE+PB 的最小值为． 8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、 N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点 A 处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 10、如图，菱形ABCD 中， AB=2 ，∠A=120°， 点 P，Q，K 分别为线段BC， CD，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 11、如图，正方形ABCD的边长为 2，E为AB的中点， 上一动点．则PB+PE的最小值是 1212、、如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最 为 ． 13、如图，正方形ABCD 的边长是 2，∠DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点P、Q 分别 是 AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 ． 1414、、如图 7，在边长为2cm 的正方形 ABCD 中，点Q 为 BC 边的中点，点P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）． 15、如图，⊙O的半径为 2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB 上一动点，则PA+PC的最小值是． 1616、、如图 8，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA＋PB 的最小值为( ) (A)2 解答题解答题 (B)(C)1 (D)2 M 在 DC 小值 P是AC 1 1、、如图 9，正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=（k≠0）在第一象限的图 象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM 的面积为 1. （1）求反比例函数的解析式； （2） 如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点 （点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 上求一点 P，使 PA+PB 最小. 2、如图，一元 二次方程 x +2x-3=0 的二根 x 1， （x 1＜x2） 是抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴的两个交 B，C 的横坐标，且此抛物线过点A（3，6） ． （1）求此二次函数 的解析式； 设此抛物线的顶点为 P，对称轴与 AC 于点 Q，求点 P 和点 Q 的坐标； 在 x 轴上有一动点M，当 MQ+MA 取得最 时，求 M 点的坐标． 3 3、、 如图 10， 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （（1 1，， （1）求点 B 的坐标； （2）求过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△AOC 的周长最小若存在， 求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由； 3 2 18 4．如图，抛物线y＝x－x＋3 和 y 轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点 55 ）） ，， △AOB 的面积是. . （2） 相 交 （3） 小 值 2 轴 x