2018年高考数学总复习数列、推理与证明第3讲等比数列及其前n项和!

第第 3 3 讲讲等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么() A.{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 解析两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案C 2.在等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为() A.2 1 B.2 1 C.2 或2 1 D.－2 或2 a 1＋a4 a 1（1＋q 3） 1＋q3（1＋q）（1－q＋q2） 解析设数列 {an}的公比为q，由＝＝＝＝ a 2＋a3 a 1（q＋q 2）q＋q2q（1＋q） 1－q＋q2 q 181 ＝，得q＝2 或q＝ .故选 C. 122 答案C 3.(必修 5P67A1(2)改编)一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天， 6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去， 第 6 天所有的蜜 蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂() A.55 986B.46 656C.216 D.36 解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}成等比数列，a1＝6，q＝6，所 以{an}的通项公式an＝6×6 6 n－1，到第 6 天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝6×6 ＝ 5 6 ＝46 656 只蜜蜂，故选 B. 答案B 4.(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A.21B.42 C.63D.84 242 解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21 得 3(1＋q＋q)＝21，解得q ＝－3(舍去)或q＝2，于是a3＋a5＋a7＝q(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选 B. 答案B 22 5.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于() - 1 - A.150 C.150 或－200 B.－200 D.400 或－50 2 解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10) ＝S10(S30－ S 20). 即(S20－10) ＝10(70－S20)，故S20＝－20 或S20＝30，又S20＞0， 因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40， 故S40－S30＝80. 2 S 40＝150.故选 A. 答案A 二、填空题 6.(2017·乐清市模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公 比q等于________. 解析两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得 ＝3.即q＝3. 答案3 7.(2017·宁波调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2 (n∈N N )，则a3＝________；通项公 式an＝________. 解析∵a1＝1，an＋1＝an＋2 (n∈N N )，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝a2＋2 ＝3＋4＝7.n≥2 时，an＝(an －an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2 立)，∴an＝2 －1. 答案72 －1 8.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________. n n n－1 n*2 a 4 a 3 n* ＋2n－2 2 －1 n ＋…＋2＋1＝＝2 －1(n＝1 时也成 2－1 n a 1（1－q 4） 解析设等比数列{an}的首项为a1， 公比为q， 显然q≠1 且q＞0， 因为S4＝3S2， 所以 1－q 3a1（1－q） 242 ＝，解得q＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q＝2×2 ＝8. 1－q 答案8 三、解答题 9.在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解(1)设{an}的公比为q，依题意得  a1q＝3，a1＝1，  4 解得 a1q＝81，q＝3.  2 - 2 - 因此，an＝3n－1. (2)因为bn＝log3an＝n－1， 所以数列{bn}的前n项和Sn＝n（b1＋bn） n2－n 2 ＝ 2 . 10.(2017·宁波十校联考)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式； (2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列. 解(1)设{an}的前n项和为Sn， 当q＝1 时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1 时，Sn＝a1＋a1q＋a1q＋…＋a1q 2n－1，① qSn＝a 1q＋a1q 2＋…＋a 1q n，② ①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1q， n na 1，q＝1，   a 1（1－q ） ∴Sn＝，∴Sn＝a 1（1－q n） 1－q ，q≠1.  1－q n (2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N N ， (ak＋1＋1) ＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， 2 * a2 k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， 2kkk－1k＋1k－1k＋1a2 ·a1q＋a1q＋a1q， 1q ＋2a1q＝a1q ∵a1≠0，∴2q＝q 2 kk－1＋qk＋1. ∵q≠0，∴q－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾. 故数列{an＋1}不是等比数列. 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 11.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于() A.12B.13C.14 D.15 解析设数列{an}的公比为q， 由a1a2a3＝4＝a1q与a4a5a6＝12＝a1q， 可得q＝3，an－1anan＋1＝a1q 因此q3n－6 933n－3 33312 ＝324， ＝81＝3 ＝q， 436 所以n＝14，故选 C. 答案C 12.(2016·临沂模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N N ，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3 －1，则a1＋a2＋ 2a2 3＋…＋an等于( ) *n22 - 3 - A.(3 －1) C.9 －1 n n2 n* 1 n B. (9 －1) 2 1 n D. (3 －1) 4 n－1 解析∵a1＋a2＋…＋an＝3 －1，n∈N ，n≥2 时，a1＋a2＋…＋an－1＝3 ∴当n≥2 时，an＝3 －3 nn－1 －1， ＝2·3n－1， n－1 又n＝1 时，a1＝2 适合上式，∴an＝2·3 2 ， 故数列{an}是首项为 4，公比为 9 的等比数列. 4（1－9 ）1 n 因此a＋a＋…＋an＝＝ (9 －1). 1－92 2 1 2 2 2 n 答案B 13.(2017·沈阳模拟)在等比数列{an}中，a