1圆的基本性质知识——教案

圆——基础知识圆——基础知识 一、圆的定义：一、圆的定义： 圆是到定点到距离等于定长的点的集合，此定点为圆心，定长为半径．如图23-1-1，这 个以点 O 为圆心，以 OA 的长为半径的圆称作“圆O” ，记作“⊙O” ． 注意：注意： (1)圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小， 二者缺一不可． (2)圆心相同，但半径不相等的圆称为同心圆；圆心不同，半径相等的圆是等圆． 二、圆的基本元素二、圆的基本元素 1 1．弦和直径：．弦和直径： 连结圆上任意两点的线段叫弦，如图23-1-2 中，线段 AC、AB、BC 都是⊙O 的弦，其 中 AB 是直径，直径的是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段 OM 的长，表示圆心到弦AC 的弦心距． 注意：注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径． 2 2．弧和半圆：．弧和半圆： 圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种． 一条直径把圆分成了 两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图 23-1-3 中的优 弧，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧． 注意：注意： (1)弄清半圆与弧之间的关系，半圆是一种特殊的弧，而弧不一定是半圆； (2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆 或等圆中” ． 3 3．圆周角和圆心角．．圆周角和圆心角． 顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角； 顶点在圆心上的角叫圆心角； 如图 23-1-4 中的∠ABC 是圆周角，∠AOD 是圆心角． - 1 - 注意：注意：圆周角具备两大特征：(1)顶点在圆周上，(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不 可，如图 23-1-4 中的∠ABE 就不是圆周角． 三、圆的基本性质三、圆的基本性质 1 1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系： 圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆 心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的 “等对等”关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相等． 注意：注意： (1)运用本知识点时，应注意其成立的条件： “同圆或等圆中” ． (2)如图 23-1-5 中，可用符号语言将上述关系表达为： ①∵∠AOB＝∠COD，∴ ②∵ ③∵AB＝CD，∴ ④∵OM＝ON，∴ ，AB＝CD，OM＝ON． ，∴∠AOB＝∠COD，AB＝CD，OM＝ON． ，∠AOB＝∠COD，OM＝ON． ，AB＝CD，∠AOB＝∠COD (还可进一步得出图中的优弧)． (3)本知识是证明弦相等、弧相等的常用方法． 2 2．圆的轴对称性：．圆的轴对称性： 圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴， 利用“圆是轴对称图 形”可以得到： “垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． ” 注意：注意： (1)此性质必须具备两个条件：直径；此直径垂直于弦，两者缺一不可． (2)常用此知识点进行一类计算题：在弦长、弦心距、半径三个量中，只需知道其中任 意两个，都可求出第三个，此时需构造Rt△，利用勾股定理求解． 3 3．圆周角的性质：．圆周角的性质： (1)一条弧所对的圆周角等于该弦所对的圆心角的一半； (2)同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等； (3)半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 注意：注意： 性质(1)的得出应分三种情况讨论：圆心在角的一边长；圆心在角的内部；圆心在角的 外部，如图 23-1-6 所示，后两种情况可转化成第一种情况来说明． - 2 - 性质(2)是证明圆周角相等或弧相等的常用方法： “由角找弧” “由弧找角” ． 利用性质(3)可确定一个圆的圆心；已知直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中 一种常见的辅助线． 圆的基本性质（一）圆的基本性质（一） A A 组组 1、 已知：在直角三角ABC 中，A  90,AB=3cm,AC=4cm,AD是 CB 边上的高，则D 在 以 A 为圆心，AC 为半径的（） A、圆内B、圆上 C、圆外D、无法确定 2、 若 AB 是⊙O 的一条弦，AB=8cm，AB 的弦心距为 3cm，则⊙O 的半径为_____cm。 3、 如图，AB 是半径为 4cm 的⊙O 中的弦，且弧 AC=弧 BC=60°，则 AB=_____cm。 0 C O A M A B B M D C 第2题图 第4题图4、 如图，⊙O 中的弦 CD 与直径 AB 交成 30°角，且AM=8cm，BM=2cm，则CD 的弦心 距=_________cm。 C D 5、 如图所示，⊙O 的半径为 3，AB 是⊙O 的直径，半径 CO⊥AB,P 为 CO 的中点，则 BD=B P A O 6、如图，四边形 ABCD 中，∠A=130°，∠B=90°，∠C＝50°，则过四点 A、B、C、D 能否画一个圆？若能，请画出这个圆，请简单说明理由。 （6 分） D C A B - 3 - ⌒ 7、如图，点 C 是 AB 上的点，CD⊥OA 于 D，CE⊥OB 于 E，若 CD=CE。求证：点 C 是 ⌒ 的中点。AB（6 分） E OB D C A 8、如图，AB 是⊙O 的直径，且 AD∥OC，若 AD 的度数为 80°。求 CD 的度数。 （6 分） D C AB O 9.如图所示，已知：⊙O 的弦 AB,E、F 是弧 AB 上两点，弧 AE 与弧 BF 相等，OE、OF 分别交 AB 于 C、D，求证：AC=BD。 O C D B A E F 10、如图所示，BC 为⊙O 的直径，弦 AD⊥BC 于 E，C  60,求证：ABD为等边三角形。 BO EC A 0 D - 4 - B 组 C 11、 如图，弦 CD⊥AB 于 P，AB=8，CD=8，⊙O 半径为 5，则 OP A P B 长为________。 O D 12、 在⊙O 中，弦CD 与直径 AB 相交于点 E，且AEC  30，AE=1cm，BE=5cm，那么 弦 CD 的弦心距 OF=_________cm，弦 CD 的长为________cm。 13、 矩形 ABCD 的边 AB 过⊙O 的圆心， E、F 分别为 AB、 D F C CD 与⊙O 的交点，若AE=3cm，AD=4cm，DF=5cm，则 ⊙O 的直径等于__________。A E O B 14、 ⊙O 的半径为 10cm，两平行弦 AC，BD 的长分别为 12cm，16cm，则两弦间的距离是（） A. 2cmB. 14cmC. 6cm 或 8. 2cm 或 14cm 15、.弓形的半径为 10cm，弦长为 12cm，则弓高为___________cm. E 16、已知扇形面积为 12cm2,半径为 6cm,则扇形周长为________cm A 17、 如图，⊙O 是ABC的外接圆，AOBC于 F，D 为AC  的中点， O D E 是 BA