1、抛物线的定义、标准方程、几何性质

1 1、抛物线的定义、几何性质、抛物线的定义、几何性质 学习目标： 理解掌握抛物线的定义、几何性质，并能解决有关问题 重点： 抛物线的定义、几何性质 难点：利用抛物线的定义、几何性质解决有关问题 知识梳理： 抛物线定义：：平面内到一定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线（点F 不 在直线 l 上） ． 注意：点 F 在直线 l 上时，轨迹是过点 F 且垂直于直线l的一条直线 2 2．抛物线四种标准方程的几何性质：．抛物线四种标准方程的几何性质： 标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率 y2 2px(p  0)轴 y2 2px(p  0)轴 x2 2py(p  0) 轴 x2 2py(p  0) 3 3．抛物线．抛物线y2 2px(p  0)的几何性质：的几何性质： 轴 (1)范围：因为 p0，由方程可知 x≥ 0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也 增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0） ，焦点F( (4) 焦半径焦半径： pp ,0)，准线x  ，焦准距焦准距 p． 22 pp ,0)的距离| PF || x 0 |  22 pp 抛物线x2 2py(p  0)上一点P(x0, y0)到焦点F(,0)的距离| PF || y0|  22 抛物线y2 2px(p  0)上一点P(x0, y0)到焦点F( (5) 焦点弦长焦点弦长：抛物线y  2px(p  0)的焦点弦AB ，A(x1, y1),B(x2, y2), 6 2 则| AB| x1 x2 p．． 4 4．焦点弦的相关性质：．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x1, y1),B(x2, y2)， 焦点F( D l y A p ,0) 2 2 (1)以抛物线的焦点弦为直径的圆和抛物线的准线相切 （N） O E C B F x p2 (2) y 1 y 2  p ，x1x2 4 (3) 112  AFBFp (4)通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．抛物线的通径长：2p． 5 5．弦长公式：．弦长公式：A(x1, y1),B(x2, y2)是抛物线上两点，则 AB (x 1  x 2 )2(y 1  y 2 )21 k2| x 1  x 2 |1 分类例析： 一、抛物线的定义、几何性质及应用 例 1 （1） 过抛物线y  8x的焦点 F 作倾斜角是 A．8B．8 2 2 1 | y 1  y 2 | 2k 3 交抛物线于 A,B 两点， 则| AB|  的直线， 4 D．16C．16 2 （2）（2020新课标1理4）已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为 12，到y轴的距离为9，则p= A．2B．3C．6D．9 （3）经过抛物线y  2px(p  0)的焦点作一直线 l 交抛物线 于A(x1, y1)，B(x2, y2)，则 （4）过抛物线y  2px(p  0)的焦点F作弦AB，l为准线， 过A、B作l的垂线，垂足分别为A、B，则①AFB为（） ，②AF B为（） ． A．大于等于90B．小于等于90C．等于90D 不确定 6 2 2 y 1 y 2 的值为__________。 x 1 x 2 变式练习 1 2 1（2020 新课标 3 文理 7） 设 O 为坐标原点， 直线 x=2 与抛物线 C：y  2pxp  0交于 D， E 两点，若 OD⊥OE，则 C 的焦点坐标为 A． （ 2（2019 新课标 1 理）(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的标准线 于 D、E 两点.已知|AB|=4 2，|DE|=2 5，则 C 的焦点到准线的距离为 A、2B、4C、6D、8 3（2018 新课标 1 理）8．设抛物线C：y2=4x 的焦点为 F，过点（–2，0）且斜率为 与 C 交于 M，N 两点，则FM FN= A．5 4（2017 新课标 2 文）12.过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，且斜率为3的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN⊥l,则 M 到直线 NF 的距离为 A.5B.2 2C.2 3D.3 3 5（2017 新课标 2 理）16.已知F是抛物线C:y 8x的焦点，是C上一点，F的延长 线交y轴于点．若为F的中点，则F  例 2．(1)定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y2＝x 上移动，求AB 中点到 y 轴距离的 最小值，并求出此时 AB 中点 M 的坐标． (2)已知点 P 为抛物线 y2＝2x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M，点 A 的 7  坐标是 A 2，4，则|PA|＋|PM|的最小值是多少？ 2 解析：(1)如图，设F是抛物线y＝x的焦点，过A、B两点作准线的垂线AC、BD，垂足 1 分别为C、D，过M点作准线的垂线为MN，N为垂足，则|MN|＝ (|AC|＋|BD|)． 2 6 2 1 ，0） 4 B． （ 1 ，0） 2 C． （1，0）D． （2，0） 2 的直线 3 B．6C．7D．8 13 根据抛物线定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.∴|MN|＝ (|AF|＋|BF|)≥ . 22 1 设M点的横坐标为x，则|MN|＝x＋ . 4 1315 ∴x＝|MN|－ ≥ － ＝ .等号成立的条件是弦AB过点F. 4244 5 ∵|AB|＞2p＝1，∴AB过焦点是可能的．此时M点到y轴的最短距离是 ，即AB的中点的横 4 51 2 坐标为 .当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、y2， 则y1y2＝－p＝－ . 44 51 222 从而(y1＋y2) ＝y1＋y2＋2y1y2＝2× － ＝2. 42 ∴y1＋y2＝± 2.此时AB中点的纵坐标为± 2. 2 525 ∴当M的坐标为( ，±)时，M到y轴距离的最小值为 . 424 1 (2) 如图，焦点F，0， 2 当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值， 当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值， 1 此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－ ， 2 即|PA|＋|PM|的最小值为： 17－1 2＋42－1＝5－1＝9. |FA|－ ＝2 22222 归纳总结： 本题考查抛物线上距离的最值，利用几何意义，考查数形结合的数学思想． 变式练习 2 1、 p 是抛物线y  2x上一点， p到点A(3, 2 101 p 到直线x  的距离为d 2 ，)的距离为d 1， 32 当d1 d 2 取最小值时，点 p 的坐标为（） A． （0，0）B． （2，2）C．(1,2)D．( ,1) 2、 已知抛物线y  4x的焦点为 F， 定点 P(4,－2)， 在抛物线上找一点 M， 使得| PM |  | MF | 最小，则点 M