1二次曲线与直线的相关位置

第五章第五章二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论 平面上由二元二次方程 a 11 x2 2a 12 xy  a 22 y2 2a 1 x  2a 2 y  a  0 （其中a11,a12,a22不全为 0）所表示的曲线称为二次曲线。 本章将从直线与二次曲线的 相关位置的讨论入手，研究二次曲线的几何性质， 通过坐标变换对二次曲线进行分类， 利用 不变量和半不变量简化二交曲线方程。 判断二次曲线的类型、 然后还要确定二次曲线的位置。 为便于讨论，我们引进一些记号 F(x, y)  a 11 x  2a 12 xy  a 22 y  2a 1 x  2a 2 y  a 矩阵表示 22 a 11  (x, y,1)a 12  a  1 a 12 a 22 a 2 a 1 x   a 2 y   a  1 F 1 (x, y)  a 11 x  a 12 y  a 1 F 2 (x, y)  a 12 x  a 22 y  a 2 F 3 (x, y)  a 1 x  a 2 y  a (x, y)  a 11 x  2a 12 xy  a 22 y 矩阵表示 22 容易验证 a 11 (x, y) a  12 a 12 x   y   a 22    F(x, y)  xF 1 (x, y)  yF 2 (x, y)  F 3 (x, y) 今后还经常用列下面几个符号 I 1  a 11  a 22 I 2  a 11 a 12 a 11 a 12 a 22 a 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a I 3  a 12 a 1 k 1  a 11 a 1 a 1 a  a 22 a 2 a 2 a §§5.15.1二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置, ,切线切线 本节重点：掌握二次曲线与直线的相关位置及切线的求法。本节重点：掌握二次曲线与直线的相关位置及切线的求法。 ( (一一) ) 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置 首先我们讨论二次曲线与直线的相关位置， 这里会涉及到一元二次方程的解， 而一元二 次方程的解又可能出现虚数，所以需要在平面上引进虚元素。 在取定平面直角坐标系后，对于至少有一虚数的有序数对(x, y)，我们认为它表示平面 上一个虚点，并称(x, y)为这虚点的坐标，平面上原先研究的点称为实点。如果两虚点的对 应坐标都是共轭复数，则称这两点为一对共轭虚点。 实点和虚点统称为复点， 在平面上引进 虚点之后，可以扩充向量和直线的概念，引进虚向量和虚直线概念等。 现在我们来讨论二次曲线 F(x, y)  a 11 x2 2a 12 xy  a 22 y2 2a 1 x  2a 2 y  a  0 （1） 与经过点(x0, y0)且具有方向X :Y的直线 x  x 0  Xt （２） y  y Yt 0  的交点，把(2)代入(1)得关于t的方程 (a 11 X2 2a 12 XY  a 22Y 2)t2 2{(a 11 x 0  a 12 y 0  a 1 )X  (a 12 x 0  a 22 y 0  a 2 )Y}t 22 (a 11 x 0  2a 12 x 0 y 0  a 22 y 0  2a 1 x 0  2a 2 y 0  a)  0 （3） 利用前面记号(3)可写成 2(X,Y)t  2[XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )]t  F(x 0 , y 0 )  0 （4） 关于直线(2)与二次曲线(1)的交点问题，我们利用方程(4)分以下几种情况讨论 １、１、(X,Y)  0，，这时(4)是关于t的二次方程，它的判别式为   [XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )]2 (X,Y)F(x 0 , y 0 ) 这里又可分三种情形 1 1°、°、   0， ，方程(4)有两个不等实根t1与t 2 ，代入(2)便得直线(2)与二次曲线(1)的两 个不同的实交点。 2 2°、°、   0，方程(4)有两个相等实根t 1 与t2，这时直线(2)与二次曲线(1)有两个互相 重合的实交点。 3 3°、°、   0，方程(4)有两个共轭的虚根，这时直线(2)与二次曲线(1)交于两个共轭的 虚点。 ２、２、(X,Y)  0，这时又可分三种情形 1 1°、°、XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )  0，这时(4)是关于t的一次方程，它有唯一的一个 实根，所以直线(2)与二次曲线(1)有唯一的实交点。 2 2°、°、XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )  0，而F(x 0 , y 0 )  0。这时(4)为矛盾方程，方程 (4)无解，所以直线(2)与二次曲线(1)没有交点。 3 3°、°、XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )  F(x 0 , y 0 )  0， ，这时方程(4)成为一个恒等式；它 能被任何(实的或虚的)t所满足，所以直线(2)上一切点都是(1)和(2)的公共点，也就是说直线 (2)在二次曲线(1)上。 ( (二二) ) 二次曲线的切线二次曲线的切线 5.1.1.1.1 定义定义如果直线(2)与二次曲线(1)相交于互相重合的两个点， 或者直线(2)全都在二 次曲线(1)上，则称这直线(2)为曲线(1)的切线，其公共点称为切点。 首先来讨论经过二次曲线(1)上一点M 0 (x 0 , y 0 )的切线L的求法。 论切线L的方向为X :Y，则L的参数方程为： x  x 0  xt  y  y0  yt 代入二次曲线的方程(1)得   t   (X,Y)t2 2[XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )]t  F(x 0 , y 0 )  0 据切线定义， 在前一情形有(X,Y)  0且t的二次方程(4)的判别式  0由于M 0 (x 0 , y 0 ) 在S上，于是   4[XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )]2 4(X,Y)F(x 0 , y 0 ) 2 4[XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )] 因此 XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )  0 （5.1.1） 在后一情形，有(X,Y)  0，，且 XF 1 (x 0 , y 0 ) YF 2 (x 0 , y 0 )  0 总之，过二次曲线(1)上的点M 0 (x 0 , y 0 )的直线L如果是二次曲线(1)的切线，则L的方向应 满足(5.1.1)，反之，如果这样的直线L的方向满足(5.1.1)，则L或者在二次曲线(1)上（当 ，或者与二次曲线(1)有两个重合的交点 （当