1变化率问题教学设计

SCH 南极数学人教 A 版选修 2-2 第一单元《导数及其应用》同步教学设计 1.1 变化率与导数（教学设计） （1） 1．1．1 变化率问题 教学目标： 知识与技能目标： 了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。 过程与方法目标： 通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概 念的产生奠定基础。 情感、态度与价值观目标： 通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科 学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景、新课引入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了 微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．师生互动、新课讲解 （一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 将班内同学平均分成 4 组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹 起过程中的变化，并做好准备回答以下问题： （1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？ （4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？ 总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象 呢? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)  如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么r(V) 3 分析: r(V) 3 4 3r 3 3V 4 3V ， 4 ⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了r(1)  r(0)  0.62(dm) r(1) r(0)  0.62(dm/ L) 10 ⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了r(2)  r(1)  0.16(dm) r(2)r(1)  0.16(dm/ L) 气球的平均膨胀率为 21 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到 V2时,气球的平均膨胀率是多少 ? h r(V 2 )  r(V 1 ) V 2 V 1 1 o t SCH 南极数学人教 A 版选修 2-2 第一单元《导数及其应用》同步教学设计 问题 2高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0  t  0.5和1 t  2的平均速度v h(0.5) h(0)  4.05(m/s)； 0.50 h(2)  h(1) 在1 t  2这段时间里，v  8.2(m/s) 21 65 探究：计算运动员在0  t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49 在0  t  0.5这段时间里，v  ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知，h( 65)  h(0) ， 49 65 ) h(0) 49  0(s/m)， 所以v  65 0 49 65 虽然运动员在0  t 这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止， 49 h( 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 例 1（tb11500601）求下列问题的平均变化率 （1）已知函数 f(x)=x+1 ，求 x 取从 1 到 2 时的平均变化率； （2）已知函数 f(x)= 1 ，求 x 取从 1 到 2 时的平均变化率； x 1 ； （3）ln2； （4）sin2-sin1） 2 f (x 2 )  f (x 1 ) 表示, 称为函数 f(x)从 x1到 x2的平均变化率 x 2  x 1 （3）已知函数 f(x)=lnx，求 x 取从 1 到 2 时的平均变化率； （4）已知函数 f(x)=sinx，求 x 取从 1 到 2 时的平均变化率。 （解： （1）1； （2） （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 2． 若设x  x2 x1, f  f (x 2 )  f (x 1 ) (这里x看作是对于 x1的一个“增量”可用 x1+x代替 x2,同样 f  y  f (x 2 )  f (x 1 )) f (x 2 )  f (x 1 )f (x 1  x)  f (x 1 )yf  3． 则平均变化率为 x 2  x 1 xxx 思考：观察函数 f(x)的图象 平均变化率 直线 AB 的斜率 f (x 2 ) f (x 1) f 表示什么?  x 2  x 1 x y y=f(x) f(x2) △ △ y y = =f f( (x x2 2)- )-f f( (x x1 1) ) f(x1) O △ △ x x= = x x2 2- -x x1 1 x1x2 x 2 SCH 南极数学人教 A 版选修 2-2 第一单元《导数及其应用》同步教学设计 例 2：已知函数 f(x)= x  x的图象上的一点A(1, 2)及临近一点B(1 x, 2 y),则 2 y  ． x 2 解： 2  y  (1 x)  (1 x)， y(1 x)2 (1 x)  2  3 x ∴ xx 变式训练 2：如图，函数 y=f（x）在 A，B 两点间的平均变化率是（B ） （（A A））1 1（（B B））-1-1（（C C））2 2（（D D））-2-2 2 例 3：求y  x在x  x0附近的平均变化率。 y(x0 x)2 x0  解：y  (x0x)  x0，所以 xx 22 x 0 2x 0xx 2 x 0 2x 0 x x 2 所以y  x在x  x0附近的平均变化率为2x0 x 2 2 2 3 变式训练 3：过曲线 y=f(x)=x 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 的斜率. 33 解： k  (1x) 1  33x(x)2 330.10.12 3.31 (1x)1 例 4：求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变