1最值系列之将军饮马

最值系列之 —— 将军饮马 、什么是将军饮马？ 问题引入】 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河 ”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一 句诗。而由 此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为 “将军饮马 ”。 【问题描述】 如 图，将军在图中 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎 点 使得路程最 么走能 B军营 将军A 问题简化】 如图，在直线上找P 使得 PA+PB 最 一点小？ 【问题分析】 这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最 小值，我 们知道 “两点之间，线段最短 ”、“点到直线的连线中，垂线段最 短 ”等，所以此处，需转化问 题，将折线段变为直线段． 【问题解决】 作点 A 关于直线的对称点 A ，连接 PA ，则 PA P=A，所以 PA+PB=PA P+B A 1 当 A 、P、 B 三点共线的时候， PA P+B=A B，此时为最小值（两点之间线段最短） A 端点 P折点 【思路概述】 作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线 段． 二、将军饮马模型系列 【一定两动之点点】 在 OA、OB 上分别取点 M、 N，使得 △PMN 周长最小． 此处 M 、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在 直线）的 对称点，化折线段 PM+MN +NP 为 P M +MN +NP ， 当 P 、M 、N、P 共 线 时， △PMN 周长 最小． 【例题】如图，点 P 是∠ AOB 内任意一点，∠ AOB=30°，OP=8，点 M 和点 N 分别是 射线 OA 和射线 OB 上的动点，则 △PMN 周长的最小值为． P 【分析】 △PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值， 此处 M、N 均为折点， 分别作点 P 关 于 OB、 OA 对称点 P 、P ， 化 PM+PN+MN 为 P N+MN+P M ． 2 N O M 当 P 、N、 M、P 共 线时，得 △PMN 周长的 最小值， 为 等边三角形，所以得△OP P P P O=P O=P=8 P N 两定两动之点 点】 在 OA、 OB 上分别 取点 B P A P 即线段 P P 长 ，连接 OP OP ， 可 B P M O P A M、N 使得四边形 PMNQ 的周长最 小。 A P A MP Q M Q BB N OO N Q 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作 点 OA P、OB 对称，化折线段 PM +MN +NQ 为 P M+MN+NQ ，当 P 、M、N、Q 共线 时 的周长最PMNQ 小。 定两动之点 线】 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最在 OA、OB 小。 AA Q 关 于 ，四边 形 M P O B N O M N B 3 此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P ，将折线段 PM+MN 转化为 P M+MN， 即过 点 P 作 OB 垂线分别交 OA 、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连 线中，垂线 段最短） 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】 1．正方形中的将军饮马 【关于对角线对称】 如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1， N 是 AC 边上的一动点， 则 △DMN 周长的最小值是_______ 分析】考虑DN+MN 最小值．点 N 为折点，DM 为定值，故求 △DMN 周长最小值即求 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时 △DMN 周长最小．作点 D 关于 AC 的对称点，即点 D M C 【假装不存在的正方形】 （2019·山东聊城）如图，在 Rt△ABO 中，∠ OBA=90°， A（4,4），点 C 在边 AB 上， 且 AC:CB=1:3，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上 移动时，使四 边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为 （ ） 4 y 5 58 8 A． (2,2)B． ( ， )C． ( ， )D． (3,3) 2 23 3 分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称： y A 也可以作点 C 的对称： y 隐身的正方形】 2017·辽宁营口)如图，在△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D 在 BC 上， DC=1， 点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为 ( ) BD=3， 5 A．4B．5C．6D．7 6 【分析】作点 C 关于 P 点所在直线 AB 的对称点 C ，当 C 、 P、D 共线时， PC+PD 最小， 最小值为 5，故选 B． 2．三角形中的将军饮马 【等边系列】 如图，在等边△ABC 中，AB=6， N 为 AB 上一点且 BN=2AN， BC 的高线 D， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是 _______ 分析】 M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最 小值． 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7． 交 BC 于点 7 AD 隐身的等边三角形】 8 如图，在 Rt△ABD 中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°，N 为 AB 上一点且 BN=2AN， M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN ，则 BM+MN 的最小值是 ______ ． 分析】对称点并不一定总是在已知图形上． C 【角分线系列之点点】 (2018·山东潍坊)如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°，AC=6． AB=12，AD 平分∠ CAB ， 点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为 ( ) A．3 【分析】此处 B．4 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C 在 AB 上且在 AB 中点，化 折线段 CE+EF 为 C E+EF，当 C 、E、F 共线时得最小值， C F 为 CB 的一半，故选 C． C D 9 【角分线系列之点线】 (2018·辽宁营口)如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，∠ABC=60°， BD 平分∠ ABC， 交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是 ( ) B．2D．4 分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM+MN ． 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C． 为 10 CM+MN 3．矩形、菱形中的将军饮马 【菱形高】 (2018 广西贵港)如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点， P、M 分别 是 AC、AB 上的动点，连接 PE、PM ，则 PE+PM 的最小值是 ( ) A．6B． 3 3C． 2 6D． 4.5 分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC