1对数的概念
§ §4.34.3对对数数 4 4．．3.13.1对数的概念对数的概念 学习目标1.了解对数、常用对数、自然对数的概念 .2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求 简单的对数值． 知识点一对数的概念 1．对数的定义： 一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x＝logaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 思考在对数的定义中为什么不能取a≤0 及 a＝1 呢？ 答案(1)a0，且 a≠1，则 ax＝NlogaN＝x. (2)对数恒等式：a logaN ＝N；logaax＝x(a0，且 a≠1，N0)． 思考任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 答案不是，只有底数大于零且不等于1 时才可互化． 知识点三对数的性质 1．loga1＝0(a0，且 a≠1)． 2．logaa＝1(a0，且 a≠1)． 3．零和负数没有对数． 1．logaN 是 loga与 N 的乘积．(×) 2．若 3x＝2，则 x＝log32.(√) 3．因为 a1＝a(a0 且 a≠1)，所以 logaa＝1.(√) 1 e 1 4．若 ln N＝ ，则 N＝ 2 .(×) 2 5．在 b＝log3(m－1)中，实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．(√) 一、指数式与对数式的互化 例 1将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)33＝27；(2)log 1 8＝－3； 2 1 －2 (3) 4 ＝16；(4)lg 1 000＝3. 解(1)∵33＝27，∴log327＝3. 1 －3 (2)∵log 1 8＝－3，∴ 2 ＝8. 2 1 －2 (3)∵ 4 ＝16，∴log 1 16＝－2. 4 (4)∵lg 1 000＝3，∴103＝1 000. 反思感悟指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练 1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： 1 －3 1 － (1)32＝ ；(2) 5 ＝125； 9 (3)log 1 27＝－3；(4)log 3 x 64＝－6(x0，且 x≠1)． 1 解(1)log3 ＝－2. 9 (2)log 1 125 ＝－3. 5 1 －3 (3) 3 ＝27. (4)( x) －6 ＝64. 二、对数的计算 例 2(1)求下列各式的值． ①log981＝________. ②log0.41＝________. ③ln e2＝________. 答案①2②0③2 解析①设 log981＝x，所以 9x＝81＝92， 故 x＝2，即 log981＝2. ②设 log0.41＝x，所以 0.4x＝1＝0.40， 故 x＝0，即 log0.41＝0. ③设 ln e2＝x，所以 ex＝e2， 故 x＝2，即 ln e2＝2. (2)求下列各式中 x 的值． 2 ①log27x＝－ ；②logx16＝－4. 3 3 2 3解①由 log27x＝－ 得，x＝27＝3 3 3 2 2 1 ＝3 －2 ＝ . 9 111 ± 4，又 x0，且 x≠1，∴x＝ .②由 logx16＝－4，得 x －4 ＝16，即 x4＝＝ 16 2 2 反思感悟对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算． 跟踪训练 2求下列各式的值： 1 (1)log28；(2)log9； 9 (3)ln e；(4)lg 1. 解(1)设 log28＝x，则 2x＝8＝23. ∴x＝3.∴log28＝3. 11 (2)设 log9 ＝x，则 9x＝ ＝9 －1 ， 99 1 ∴x＝－1.∴log9 ＝－1. 9 (3)ln e＝1. (4)lg 1＝0. 三、利用对数的性质求值 例 3求下列各式中 x 的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝7 解(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. (3)x＝7 (教师) 延伸探究 把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求 x 的值． 解因为 log2(log5x)＝1， 所以 log5x＝2，则 x＝52＝25. 反思感悟利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0 和 logaa＝1(a0 且 a≠1)，进行变形求 解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 1log75 1log75. ＝7÷7log75 7 ＝7÷5＝ . 5 跟踪训练 3求下列各式中 x 的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解(1)由 log8[log7(log2x)]＝0， 得 log7(log2x)＝1，即 log2x＝7，∴x＝27. (2)由 log2[log3(log2x)]＝1， 得 log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. 1．(多选)下列说法正确的有() A．只有正数有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以 5 为底 25 的对数等于 2 D．3log3a＝a 成立 答案AC 解析B 错误，如(－2)2＝4 就不能化成对数式，D 错误，对数式的真数 a 应注明大于 0. 1 － 2．23＝ 化为对数式为() 8 A．log 1 2＝－3 8 B．log1 3＝2 8 1 C．log2＝－3 8 答案C 解析根据对数的定义知选 C. 1 D．log2(－3)＝8 3．求值：lg 100＝________；lg 0.001＝________. 答案2－3 解析由 102＝100 知，lg 100＝2， 10 －3 ＝0.001 得，lg 0.001＝－3. 4．已知 logx27＝3，则 x＝________. 答案3 5．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________. 答案0 解析原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 1．知识清单： (1)对数的概念． (2)自然对数、常用对数． (3)指数式与对数式的互化． (4)对数的性质． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围． 1．使对数 loga(－2a＋1)有意义的 a 的取值范围为() 1 A．a 且 a≠1 2 C．a0 且 a≠1 答案B －2a＋10， 解析由题意知a0， a≠1， 1 B．00， 注意到1－x≠1， 1＋x≠0， ∴x＝－3.
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