116版：1二项式定理创新设计

§ §5 5二项式定理二项式定理 5 5．．1 1二项式定理二项式定理 [学习目标]1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． [知识链接] 1．二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？ 1n 答二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指 C0 n，Cn，…，Cn，它 只与各项的项数有关，而与 a，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分， 它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b 的值有关． 2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第 r＋1 项是否相同？ n r rn r r 答不同．(a＋b)n展开式中第 r＋1 项为 Crb ，而(b＋a)n展开式中第 r＋1 项为 Cra . nanb －－ [预习导引] 1．二项式定理 n1 n 1n r rn (a＋b)n＝C0b＋…＋Crb ＋…＋Cn na ＋Cnananb 这 －－ 个公式就称为二项式定理． 2．二项式定理的有关概念 (1)二项展开式 n1 n 12 n 2 2n r rn 在(a＋b)n＝C0b＋Cnab ＋…＋Crb ＋…＋Cn右边的多项式叫作(a＋b)n na ＋Cnananb 中， －－－ 的二项展开式． (2)二项展开式的通项 n r r 在二项展开式中，Crb 叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1 na － 项． n r r Tr＋1＝Crb (其中 0≤r≤n，r∈N N，n∈N N＋)． na － 此公式也称为二项展开式的通项公式． (3)二项式系数 在 展 开 式 中 ， 每 一 项C r n an － r r b的 系 数C r n 称 为 二 项 式 系 数 . 要点一二项式定理的正用、逆用 例 1(1)求(3 x＋ 1 4 ) 的展开式； x (2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． 解(1)方法一(3 x＋ ＋C4 4( 1 4 ) x 1 4 11 413 1 223 ) ＝C0()2＋C4(3 x)·()3 4(3 x) ＋C4(3 x) · ＋C4(3 x) · xxxx 121 ＝81x2＋108x＋54＋＋ 2. xx 3x＋11 方法二(3 x＋)4＝ x2 x 1 ＝ 2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x 121 ＝81x2＋108x＋54＋＋ 2. xx 5142332455 (2)原式＝C0 5(x－1) ＋C5(x－1) ＋C5(x－1) ＋C5(x－1) ＋C5(x－1)＋C5－1＝[(x－1)＋1] －1＝ 4 x5－1. 规律方法运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的通项公式，对于较复杂的二项式， 有时先化简再展开更简捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式系数的区 别．逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各 项幂指数的规律以及各项的系数． 跟踪演练 1(1)展开(2 x＋ 1 6 ) ； x 2nn (2)化简：1＋2C1 n＋4Cn＋…＋2 Cn. 解(1)(2 x＋ 1 6 1 ) ＝ 3(2x＋1)6 x x 1 61524334256 ＝ 3[C0 6(2x) ＋C6(2x) ＋C6(2x) ＋C6(2x) ＋C6(2x) ＋C6(2x)＋C6]x ＝64x3＋192x2＋240 x＋160＋60 121 ＋＋ . xx2x3 22nnnn (2)原式＝1＋2C1 n＋2 Cn＋…＋2 Cn＝(1＋2) ＝3 . 要点二二项展开式通项的应用 例 2若( x＋ 1 4 2x )n展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含 x 的一次项； (2)展开式中的所有有理项． 2 1 1 1 2 解(1)由已知可得 C0 n＋Cn· 2＝2Cn· ，即 n －9n＋8＝0，解得 n＝8，或 n＝1(舍去)． 22 8 r Tr＋1＝Cr·( 8( x) － 3 － )r＝Cr2 r·x4－ r， 8·4 4 2x 1 3 令 4－ r＝1，得 r＝4. 4 35 －4 所以 x 的一次项为 T5＝C4x. 82 x＝ 8 335 (2)令 4－ r∈Z Z，且 0≤r≤8，则 r＝0,4,8，所以含 x 的有理项分别为 T1＝x4，T5＝x，T9 48 ＝ 1 . 256x2 规律方法利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的 一类典型题型． 常见的有求二项展开式中的第r 项、 常数项、 含某字母的 r 次方的项等等． 其 通常解法就是根据通项公式确定Tr＋1中 r 的值或取值范围以满足题设的条件． 3 3  n 的展开式中，第 6 项为常数项． x－ 跟踪演练 2已知在 3   x (1)求含 x2的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项． 3 3  rn 展开式的通项为T ＋ ＝Crxn－r· r n－2r x－ 解(－3)r·x－ ＝Cr.第6项为常数项， r1nn(－3) x333 3   x n－2r 即 r＝5，且＝0，∴n＝10. 3 n－2r1 (1)令＝2，得 r＝ (n－6)＝2. 32 2 故 x2项的系数为 C2 10(－3) ＝405. 10－2r   3 ∈Z Z， (2)根据通项公式，由题意得0≤r≤10，  r∈N N. 10－2r3 令＝k(k∈Z Z)，则 10－2r＝3k，r＝5－ k. 32 ∵r∈N N， ∴k 应为偶数． 又∵0≤r≤10， ∴k 可取 2,0，－2，即 r＝2,5,8. 2 255882 ∴第 3 项，第 6 项和第 9 项为有理项，它们分别是C2 10(－3) x ，C10(－3) ，C10(－3) x . － 要点三二项式定理的应用 例 3(1)用二项式定理证明：34n 2＋52n ＋＋1能被 14 整除； (2)求 9192除以 100 的余数． (1)证明34n 2＋52n 1＝92n 1＋52n 1＝[(9＋5)－5]2n 1＋52n 1 ＋＋＋＋＋＋ ＝(14－5)2n 1＋52n 1 ＋＋ 2n22n 1n2n2n 12n 1 ＝142n 1－C1×52－…＋C2＋52n 1 2n＋1×14 ×5＋C2n＋1×142n＋1×14×5 －C2n＋1×5 ＋－＋＋＋ 2n 12n 2n2n ＝14(142n－C1×5＋C2×52－…＋C2 2n＋1×142n＋1×142n＋1×5 )． －－ 上式是 14 的倍数，能被 14 整除，所以 34n 2＋52n ＋＋1能被 14 整除． 190291 (2)解方法一9192＝(100－9)92＝10092－C 92 ×10091×9＋C2 92 ×100 ×9 －…－C 92 ×100×991＋992，前面各项均能被 100 整除，只有末项 992不能被 100 整除，于是求 992除以 100 的余数． ∵992＝(10－1)92 912909029192 ＝1092－C1 92×10 ＋C92×10 －…＋C92×1