007线性代数试题及解答

… … … … … … … … … … … … … … … … 密 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 封 … … … … … … … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … … 学 院 专 业 座 位 号 诚信应考诚信应考, ,考试作弊将带来严重后果！考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试华南理工大学期末考试 《《 20062006 线性代数线性代数 》试卷》试卷 A A 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 。 1 00  TT2006 0．已知正交矩阵 P 使得P AP  0 10，则P A(E  A)P   0 02  2 1．设 A 为 n 阶方阵， 1,  2  , n 是A的n个特征根，则 det(A)= 2．设 A 是mn矩阵，B 是m维列向量，则方程组AX  B有无数多个解的充分必要条 件是： 3． 二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分） 1． 2．若 A 为 m×n 矩阵，r(A)  r  n，M {X | AX  0, X R }。则（ ） 。 n ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 姓 名 学 号 A，M是m维向量空间， B，M是n维向量空间 C，M是 m-r 维向量空间， D，M是 n-r 维向量空间 3．若 n 阶方阵 A 满足，A =0，则以下命题哪一个成立（） 。 2 A，r(A)  0， B，r(A)  n 2 C，r(A)  n ， D，r(A)  n 22 4．若 A 是 n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不 不成立（） 。 A，矩阵 AT为正交矩阵， B，矩阵A1为正交矩阵 C，矩阵 A 的行列式是1， D，矩阵 A 的特征根是1 三、解下列各题（每小题 6 分，共 30 分） 1．若 A 为 3 阶正交矩阵，A*为 A 的伴随矩阵， 求 det (A*) a1 1 1 2．计算行列式 1a1 1 1 1a1 1 1 1a 。 0 2 0  3．设A   200, 0 01   AB  AB，求矩阵 B。 5、求向量=（1，2，1）在基 (1,1,1), (0,1,1), (1,1,1)下的坐标。 四、 （12 分）求方程组 x 1  x 2 2x 3  x 4  x 5  2  。 3x 1  x 2 2x 3 7x 4 3x 5  2的通解（用基础解系与特解表示） x 5x 10 x 3x  x  6 2345  1 五、 （12 分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 22f (x 1,x2 ,x 3 )  2x 1 x 2  x 2  x 3 2x 1x3 六、证明题（6 分） 设 0， 1,2 ,, r 是线性方程组AX 对应的齐次线性方程组一个基础解系，是 线性方程组AX 的一个解，求证 1 , 2 ,, r ,线性无关。 《2006 年线性代数 A》参考答案 一填空题 (1) 2 0 -22006 (2) λ 1 2· · ·λ n 2 (3) r(A)=r(A,B) n (4) t=-8 (5) 1,2,-3 二选择题 (1) D (2) A (3) D (4) D (5) D 三解答题 (1) A·A * * =|A|·E, |A|·|A |=|A | 2-1 *3 |A |=|A| =|A·A’|=|A·A |=1 a1111111  (a 3)1 a11 11a1 111a  (a 3) 1 0 0 1 0 0 1 0 a 1 0 1 0 0 a 1  (a 3)(a 1)3 1a11 11a1 111a 0a 1 (2) (3)由 AB=A-B，有(A E)B  A,B  (A E)1A， ( A  E )1  1   2   0  2 1 0 0  0   2   1 1   3  2    3    0  2 3 1  3 0  0   0  ,  1    2   2 3 4 3  0   0   1    2  1   3  2 B   3    0  2 3 1  3 0  0    0 0   2    0  1    2  2 0 0 4  3 0   2 0       3 1      0  0  1  1   2 1 （4）    1 3 1  4  而 121 21 2 1  012 1  100 1   124 1 21 0  010 100  120  02  2  0101  101  11 110110 020 故{ 1 ， 2 ， 3 }为一个极大无关组 （5） 令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ， 则有： 3 x  z 1 2 x  y  z  2解得：y  0 1x  y  z 1 z   2 x  1  3 ω的坐标为,0, 2 2 四 解： 1 2 211 2 1 1 211 2  1 1 211 2  A 312732048 404 0 1 2101原 1 510316 0  48  40 4000 0 00  方程组同解下面的方程组： 即： 令x 3  x 4  x 5  0,求解得： （1，1，0，0，0）=η。 齐次方程组基础解系为： x 1  x 2 2x 3  x 4  x 5  2 x 2 2x 3  x 4 1 x 1  x 2  22x 3  x 4  x 5 x 2 12x 3  x 4  1  (0,2,1,0,0), 2  (2,1,0,1,0), 3  (1,0,0,0,1),通解为 a 1  1  a 22  a 33 。 五．解： f (x 1 ,x 2 ,x 3 )   A  0 1 1  A 110  1 01   11 0 (1)( 2)(1)E  A  11 101  1 1, 2  2, 3  1  x 1 0   当 1 1时，由 1E  A x2 0，求得基础解系：1  x 1  3   当 1   x 1  1    E  Ax 0时，由，求得基础解系：  2  1  2 2 