--微分方程数学竞赛部分

第第十十二二章章微微分分方方程程（（数数学学竞竞赛赛部部分分）） 1．若f (x)  f (x) ,且 f (1)  a，求f (2)． x f (x)1f (x)  ，ln f (x)  ln x  lnC，故f (x)  C x，得 f (x)xx 解解由f (x)  由 f (1)  a 得C  a, 所以 f (2)  2a. 2．设f (x)在区间[a,b]上连续，且满足方程 x2 11 f (x)dx f (x 1) f (x2 )   x x 2  x 1 1 2 x 1  x 2 ，且x 1,x2 [a,b]，求函数f (x)． 解解由已知得，2 a f (x)dx  (xa)[ f (x) f (a)]， x 上式对x求导，得2 f (x)  f (x) f (a)(xa) f (x)， 即f (x) 1f (a) ，是一阶线性微分方程，所以f (x)   xaxa 1 dx  xa 1 f (a)  xa dx f (a) f (x)  eedxC (xa)C f (a)C(xa)， xa   xa  f (b) f (a)f (b) f (a) 将x  b代入，有C ，故f (x)  (xa) f (a). baba  3．求满足x  解解 对积分  0 x x f (t)dt tf (t  x)dt 的可微函数f (x)． 0 x  0 tf (t  x)dt作变换t  x  u,则dt  du. x  0 tf (t  x)dt (u  x) f (u)du  uf (u)du  x x0 0xx 0 f (u)du， 原式可化为 x  0 f (t)dt  0 xx uf (u)du  xx 0 f (u)du， 上式对 x 求导，得1 f (x) xf (x) 0 x f (u)du  xf (x)， f (u)du,(1) 即 f (x) 1 0 x (1)式对 x 求导，得f (x)   f (x), (2)式对 x 求导，得f (x)  f (x)   f (x)， (2) 于是f (x) f (x)  0，该微分方程通解为f (x)  C1cosxC2sin x. 由(1), (2) ，可得f (0) 1, f (0)  1，故f (x)  cosx sin x. 4．设f (x)在(,) 上有定义 , 且对于任意的实数 a,b 都有等式 f (a b)  eaf (b)ebf (a) 成立, 又 f (0) 1，求f (x)． 解解由已知f (00)  f (0) f (0)，得f (0)  0。 f (x  x)  f (x)exf (x)  exf (x)  f (x) f (x)  lim lim x0x0 xx ex[ f (x) f (0)] f (x)(exe0)  lim ex f (x). x0 x 解此微分方程可得f (x)  ex(C  x)，又f (0)  0, 所以f (x)  xex. 2xxx 5．设y  e  (1 x)e 是二阶常系数线性微分方程yyy e的一个特解， 222 求 . 2xxx 解解 1 1将y  e  (1 x)e 代入方程yyy e有 (4  2)e2x (3 2)ex (1) ex， 比较等式两端同类项系数，可得 4 2 0,  222 3 2 ,解得 3， 2， 1，所以14. 1  0,  x2x 解解 2 2由二阶常系数线性微分方程解的结构可知：y  e，y  e是常系数齐次线性微 分方程yyy  0的两个特解，r 1 1，r2 2是微分方程yyy  0的 特征根。所以特征方程为(r 1)(r  2)  0，即r 3r  2  0，故 3， 2。 xx 又y  xe是非齐次线性微分方程yyy e的一个特解，代入方程有 2  exex，故 1，所以22 2 14. 6．飞机在机场开始滑行着陆.在着陆时刻已失去垂直速度, 水平速度为v0米/秒。 飞机与地面的摩擦系数为, 且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比, 在水 平方向的比例系数为kx千克秒2/米2,在垂直方向的比例系数为k y千克秒 2/米2.设飞 机的质量为m千克,求飞机从着陆到停止所需的时间。 解解水平方向的阻力Rx kxv2,垂直方向的阻力Ry kyv2,摩擦力W (mg Ry). 由牛顿第二定律，有 k x k y m d2s k x k y  2m dt ds   dt   g  0.  2 记 A ,B g, 根据题意知 A  0. 2 dsd2sdv 2 .于是有 2  A B  0,即  Av  B  0.  dtdtdt  分离变量得 dv  dt, 积分得 2 Av  B  A  arctanv t C.  AB  B  1 代入初始条件t  0,v  v0,得C   A  arctanv0  AB  B  1 1 1A arctan(v0). BAB 所以t   A  arctanv.  AB  B  1 k x k y m arctanv0(秒). (k x k y )gmg 当v  0时，t   A  arctanv0  BAB  7． 设函数y  yx在(,)内具有二阶导数， 且y  0,x  x(y)是y  yx的反函数。 d2xdx 3 （1）试将x  xy所满足的微分方程(y sin x)()  0变换为y  yx满足的 2dydy 微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)  0, y(0)  3 的解。 2 分析分析 将 1dxdx1dy  ，关键是应注意：转化为比较简单，= dydy dy y dx dx y d2xddxd  1  dx  y 1   ==()    232(y)dy dydx  y  dy y y dy 然后再代入原方程化简即可。 解解(1) 由反函数的求导公式知 dx1  ，于是有 dy y y d2xddxd1dx  y 1  () ==() 232ydx ydyy(y )dy dy dy 代入原微分方程，得y