01、导数的切线问题

利用导数求切线方程利用导数求切线方程 知识归纳：知识归纳： 1. 求曲线在某点处的切线方程 若函数y  f (x)在x  x 0 处的导数值为f (x0)， 则曲线y  f (x)在点Q(x0, f (x0))处 的切线斜率为f (x 0 )，切线方程为y  f (x 0 )  f (x 0 )(x x 0 )。 2. 求曲线过某点的切线方程 设 切 点 为 点Q(x 0 , f (x 0 )) ， 由 切 线 斜 率 为 f (x 0 ) ， 得 切 线 方 程 为 y  f (x 0 )  f (x 0 )(x x 0 )，利用切线过已知点，将已知点的坐标代入求出x 0 ，进而写出 切线方程。 3.导数切线模型： （1）切点既在曲线上又在切线上 （2）切点处的导数等于切线的斜率. （3）切线与曲线可能不止一个公共点。 （4）曲线y＝f（x） “在点 P（x 0，y0）处的切线”与“过点 P（x0，y0）的切线”的区别与联 系 ① 曲线y＝f（x）在点P（x 0，y0）处的切线是指 P为切点，切线斜率为k＝f′（x 0） 的切线，是唯一的一条切线。 ② 曲线y＝f（x）过点P（x 0，y0）的切线，是指切线经过 P点。点P可以是切点，也 可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。 常见题型：常见题型： （一） 在点问题 例 1 已 知 函 数在 R 上 满 足, 则 曲 线在 点 （ ，）处的切线方程是 方法一： 解：∵f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8， ∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8=2f（x）-x2+4x-4+16-8x-8． 将 f（2-x）代入 f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8， 得 f（x）=4f（x）-3x2， ∴f（x）=x2，f （x）=2x， 设 y=f（x）在点(x 0，x0 2)处的切线斜率为 2 则 2x 0=2，得 x0=1，即切点为（1，1） ， 所以切线方程为 方法二：抽象函数，复合求导方法二：抽象函数，复合求导 1) 3 ，求a的值及曲线y  f (x)在点例例 2 2已知a是实数，函数f (x)  x (xa)。若f ( 2 (1,f (1))处的切线方程。 答案：答案：切线方程为3x y 2  0。 （二）过点问题： 例例3 3已知曲线C：y  1 3 4 x ，求过点P（2，4）且与曲线C相切的直线方程。 33 思路分析：思路分析：由于点 P 在曲线上，所以过点 P 的切线可能就是以点P 为切点，也可能点 P 不是切点，所以需分类讨论。 答案：答案：解：∵ P（2，4）在曲线上，当切点为P（2，4）时，k 切  f (2)  4， ∴过点 P（2，4）的切线方程为y  4x4; 2当切点不是 P（2，4）时，设切点为T(x 0 , y 0 )，则k 切  f (x 0 )  x 0 ，又k 切  y 0 4 x 0 2 （x 0  2） ， ∴ y 0 4 2 2 x 0  4，，即y 0  x 0 3 2x 0 x 0 2 又y 0  1 3 414 2x 0 ，∴x 0 3 x 0 32x 0 4， 3333 3232 即x 0 3x 0 4  0，x 0 13x 0 3  0， 32(x 0 13)3(x 0 1) 0，(x 0 1)(x 0 2)20，又x 0  2 ∴x 0 1,∴切点为T(1,1)，∴过点 P（2，4）的切线方程为y  x 2。 综上所述得，过点 P（2，4）的切线方程为y  x 2或y  4x4。 （二） 切线不等式 例 已知函数，则的大致图像是（） 例 已知函数，则的图像大致为（） （四）切线的条数： 例例 1 1 过点作曲线的切线最多有（） A．3 条B.2 条C.1 条D.0 条 方法一： 解：设设切点为 P（x 0，x0 3−x 0） ， 则 f′(x 0)＝3x0 2−1， 则切线方程 y−x 0 3+x 0＝(3x0 2−1)(x − 代入 A （2， 1） 得， 2x 0 3−6x 0 2+3＝0． 令 y＝2x 0 3−6x 0 2+3，则 y′＝6x 0 2− 由 y′=0，得 x 0=0 或 x0=2， 例例 2 2 已知函数 且当 x 0=0 时，y=3＞0，x0=2 时，y=-5 所以方程 2x 0 3−6x 0 2+3＝0 有 3 个解， 则过点 A（2，1）作曲线 f（x）=x3-x 故选 A． 方法二：三次函数的相关性质 ＜0． x 0)， 的切线的条数是 3 条． 12x 0． y  ax 与y  log a x（a 1）的图象有且仅有一个公共点， 则ln(lna) _______________ 思路分析：思路分析：同一直角坐标系下画出函数y 如下：  ax 与y  log a x（a 1）的图象， 函数y  ax与y  log a x（a 1）互为反函数，它们的图象关于直线y  x对称，因 xx y  log a xy  ay  a a 1 此函数与（）的图象有且仅有一个公共点的图象与直 线 y  x 相切，然后从原函数角度和导函数角度分别研究切点。 解：函数y  ax与y  log a x（a 1）的图象有且仅有一个公共点 x y  a 的图象与直线y  x相切. 设切点为(t,a 由切点既在 t) ， y  f(x) ax上又在直线y  x上可得：at t ① 由导数的几何意义可知： 由②得：lna  at f (t) 1，即：atlna 1② ，代入到所求式子ln(lna)中， ∴ln(lna) ln(at) tlna ， ln(ln a)  atln a  1 将①式代入上式，得: 答案：1 （五）两条曲线的公切线 例 1 若直线是曲线的切线也是的切线，求 b 的值. 2例例 已知函数f (x)  ax 1(a  0)，g(x)  x bx。若曲线y  f (x)与曲线y  g(x)在3 它们的交点(1,c)处具有公共切线。 （1）求a,b的值； （2）求出公共切线方程。 思路分析：思路分析：解本题的突破口在于如何利用好这个交点。交点(1,c)既在f (x)的图象上， 也在g(x)的图象上，同时由在此点处的切线为公共切线可导出 f (1) g(1)，联立方程组 求出a,b的值。 答案：答案：解： （1）∵交点(1,c)在f (x)  ax 1(a  0)上，∴a1 c① 2 又∵交点(1,c)在g(x)  x bx上，∴b1 c② 3 f (x)  ax21(a  0)，∴f (x)  2ax， g(x)  x3bx，∴g(x)  3x2b， 由题意，f (1) g(1)，∴2a 3b③ 联立①②③式解得：a 3,b 3,c=4。 （2）设切线的斜率为k， ∴k  f (1) 6， ∵c=4 ∴切线方程为y46(x1)，即6