01向量的内积

第四章第四章矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 第一节第一节 向量的内积向量的内积 在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚 未涉及到向量的度量性质.  在空间解析几何中，向量x {x1,x2,x3}和y {y1, y2, y3}的长度与夹角等度量性质可以 通过两个向量的数量积   x  y | x || y |cos(x, y) 来表示，且在直角坐标系中，有   x y  x1y1 x2y2 x3y3,  222 | x |x1. x2 x3 本节中，我们要将数量积的概念推广到n维向量空间中，引入内积的概念 内容分布图示内容分布图示 ★ 内积的定义与性质 ★ 例 1★ 例 2★ 例 3 ★ 向量的长度与性质 ★ 单位向量及 n 维向量间的夹角 ★ 例 4★ 例 5 ★ 正交向量组★ 向量空间的正交基 ★ 求规范正交基的方法 ★ 例 6★ 例 7★ 例 8 ★ 正交矩阵与正交变换★ 例 9 ★ 内容小结★ 课堂练习 ★ 习题 4-1 ★ 返回 内容要点：内容要点： 一、内积及其性质一、内积及其性质 定义定义 1 1设有n维向量 x 1   x x   2 ,    x   n  y 1   y y   2 ,    y   n 令[x, y]  x1y1 x2y2 xnyn, 称[x, y]为向量x与y的内积内积. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为  y 1   y [x, y]  xTy  (x1,x2,,xn) 2 .    y   n 内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,R): (1)[x, y] [y, x]; (2)[x, y] [x, y]; (3)[x y, z] [x, z][y, z]; (4)[x,x] 0; 当且仅当x  0时,[x,x] 0. 二、向量的长度与性质二、向量的长度与性质 定义定义 2 2令 222 || x||[x,x] x 1  x2 xn, 称|| x ||为n维向量x的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性|| x|| 0;当且仅当x  0时,|| x|| 0; (2) 齐次性||x |||||| x||; (3) 三角不等式|| x  y |||| x||  || y ||; (4) 对任意n维向量x, y, 有[x, y]|| x|||| y ||. 注注: 若令xT (x 1,x2 ,,x n ), yT (y 1, y2 ,, y n ),则性质(4)可表示为 x i yi i1 n   i1 n xi2 y i 2 i1 n 上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明Rn中任意两个向量的内积与它们长度 之间的关系. 当|| x||1时, 称x为单位向量. 对Rn中的任一非零向量, 向量  是一个单位向量,因为 |||| 1 ||||1. |||||||| 注注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单 位化. 当|||| 0,|||| 0,定义  arccos 称为n维向量与的夹角. 三、正交向量组三、正交向量组 [,] (0 ). |||||||| 定义定义 3 3若两向量与的内积等于零，即 [,]  0， 则称向量与相互正交. 记作. 注注: 显然,若 0, 则与任何向量都正交. 定义定义 4 4 若n维向量 1,2 ,, r 是一个非零向量组，且 1,2 ,, r 中的向量两两正交， 则称该向量组为正交向量组. 定理定理 1 1若n维向量 1,2 ,, r 是一组正交向量组，则 1,,r 线性无关. 四、规范正交基及其求法四、规范正交基及其求法 定义定义 5 5设V  Rn是一个向量空间， ① 若1,2,,r是向量空间V的一个基， 且是两两正交的向量组， 则称1,2,,r是 向量空间V的正交基正交基. ② 若e 1,e2,,er 是向量空间V的一个基 ,e 1,,er 两两正交 , 且都是单位向量 , 则称 e 1,,er 是向量空间V的一个规范正交基规范正交基. 若e 1,,er 是V的一个规范正交基, 则V中任一向量能由e1,,er线性表示, 设表示 式为  1e1 2e2rer, 为求其中的系数i(i 1,2,,r),可用eiT左乘上式, 有 eiTieiTeii, 即i eiT[,ei] 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正 交基e 1,,er 下的坐标为：( 1, 2,,r).因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交 基. 规范正交基的求法规范正交基的求法: : 设 1,,r 是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正 交的单位向量e 1,,er ,使e 1,,er 与a 1,,ar 等价. 这样一个问题,称为把 1,,r 这个基规范 正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化正交化 11; 22  [1,2] 1; [1,1] [1,r][,][,] 12r2r1rr1. [1,1][2,2][r1,r1] rr 容易验证 1,,  r 两两正交,且 1,,  r 与 1,,r 等价. 注注: 上述过程称为施密特 (Schimidt)正交化过程. 它不仅满足 1,,  r 与 1,,r 等价, 还满足:对任何k(1 k  r), 向量组 1,,  k 与 1,,k 等价. (2) 单位化单位化: 取 2r e 1  1 , e2,, er, ||1||||2||||r|| 则e 1,e2 ,,e r 是V的一个规范正交基. 注注：施密特(Schimidt)正交化过程可将Rn中的任一组线性无关的向量组 1,,r 化为与 之等价的正交组 1,,  k ； 再经过单位化， 得到一组与 1,,r 等价的规范正交组e 1,e2 ,,e r 五、正交矩阵与正交变换五、正交矩阵与正交变换 定义定义 6 6若n阶方阵A满足 ATA  E(即A1 AT), 则称A为正交矩阵, 简称正交阵. 定理定理 2 2A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位正交向量组. 注注：由ATA  E与AAT E等价,定理的结论对行向量也成立.即A为正交矩阵的充分必 要条件是A的行向量都是单位正交向量组. 定义定义 7 7若P为正交矩阵,则线性变换y  Px称为正交变换. 正交变换的性质：正交变换保持