#概率论与数理统计期末复习资料

《概率统计》 、 《概率论和数理统计》 、 《随机数学》课程 期期 末末 复复 习习 资资 料料 注：以下是测试的参考内容，不作为实际测试范围，测试内容以教学大纲和实施计划为准； 注明“了解”的内容一般不考。 1、能很好地掌握写样本空间和事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义 2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义 3、掌握概率的基本性质和使用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式 和乘法公式 4、能准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。 5、理解随机变量的概念，能熟练写出(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。 6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。 7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算 8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。 9、会求分布中的待定参数。 10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别 随机变量的独立性。 11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。 12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散 型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并 会用它们计算有关事件的概率。 13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。 14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的 数学期望及方差。 15、较熟练地求协方差和相关系数. 16、了解矩和协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。 17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。 18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值和样本方差及 样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t 分布、F 分布及其分位点概念。 19、理解正态总体样本均值和样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。 20、掌握极大似然估计法，无偏性和有效性的判断方法。 21、会求单正态总体均值和方差的置信区间。会求双正态总体均值和方差的置信区间。 23、明确假设检验的基本步骤，会 U 检验法、t 检验、  2 检验法、F 检验法解题。 24、掌握正态总体均值和方差的检验法。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的使用；掌握事件独立性的概念及性质。 3．准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待 定参数的确定，分布律、密度函数和分布函数的关系，联合分布和边缘分布、条件分布的关 系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 5．会用中心极限定理解题。 6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分 布、正态分布的密度函数、期望和方差。 数理统计部分必须要掌握的内容以及题型 1．统计量的判断。 2．计算样本均值和样本方差及样本矩。 3．熟记正态总体样本均值和样本方差的抽样分布定理。 4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。 5．掌握无偏性和有效性的判断方法。 6．会求正态总体均值和方差的置信区间。 7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值和方差的假设检验的基本步骤。 概率论部分必须要掌握的内容以及题型 1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。 古典概型例子古典概型例子 摸球模型摸球模型 例 1：袋中有 a 个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出 m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不 再放回去，求第 m 次取出的球是白球的概率; 例 2：袋中有 a 个白球，ｂ个黑球，c 个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的 m 个球中有 k1(≤a) 个白球、k2(≤b) 个黑球、k3(≤c) 个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率. 占位模型占位模型 例：n 个质点在 N 个格子中的分布问题.设有 n 个不同质点，每个质点都以概率1/N 落入 N 个 格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率： (1) A={指定 n 个格子中各有一个质点}；(2) B={任意 n 个格子中各有一个质点}； (3) C={指定的一个格子中恰有 m(m≤n)个质点}. 抽数模型抽数模型 例：在 0～9 十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？ 2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的使用；掌握事件独立性的概念及性质。 如对于事件 A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或 B之中的几个，求另外几个。 例例 1 1：事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB) 例例 2 2： 若 P(A)=0.4， P(B)=0.7， P(AB)=0.3， 求：P(A－B)， P(AB)，P(A| B)，P(A| B)，P(A| B) 3．准确地选择和运用全概率公式和贝叶斯公式。 若已知导致事件 A 发生(或者是能和事件 A 同时发生)的几个互斥的事件 B i， i=1,2,…,n,…的概 率 P(B i) ，以及 B i发生的条件下事件 A 发生的条件概率 P(A|B i)，求事件 A 发生的概率 P(A) 以及 A 发生的条件下事件 B i发生的条件概率 P(B i| A)。 例例：玻璃杯成箱出售，每箱 20 只。假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率相应为 0.8、0.1 和 0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4 只，若 无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求： （1）顾客买下该箱的概率； （2）在顾客买 下的该箱中，没有残次品的概率。 4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待 定参数的确定，分布律、密度函数和分布函数的关系，联合分布和边缘分布、条件分布的关 系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。 (1)已知一维离散型随机变量X的分布律 P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,… 确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数 Y=g(X)的分布律及期望 E[g(X)] 例例：随机变量X的分布律为. 1234X p k2k3k4k 确定参数 k 求概率 P(0X3)，P{1 X  3} 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数Y  (X 3)2的分布律及期望E(X 3)2 (2)已知一维连续型随机变量X的密度函数 f(x) 确定参数 求概率 P(aXb) 求分布函数 F(x) 求期望 E(X)，方差 D(X) 求函数 Y=g(X)的密度函数及期望 E[g(X)] kx 20  x  2 例例：已知随机变量X的概率密度为f