随机过程习题和答案

一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在 解： 时,求。 当时，＝ ＝ 设离散型随机变量 X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 红球，每隔单位时间从袋中 任取一球后放回， 对每袋中有一个白球，两个 一个确定的t对应随机变量  t 如果对t时取得红球 X(t) 3 t e 如果对t时取得白球 试求这个随机过程的一维分布函数族. 设随机过程 互独立的随机变量，服从区间 密度为 ，其中是常数，与是相 上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率 试证明 解： （1） 为宽平稳过程。 与 无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 设随机过程X(t) U cos2t，其中U是随机变量，且 E(U)  5，D(U)  5.求： （ 1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数. 设有两个随机过程X(t) Ut2，Y(t) Ut3,其中U是随机变量，且D(U)  5. 试求它们的互协方差函数。 设A,B是两个随机变量,试求随机过程X(t)  At 3B， tT  (,)的均值 函数和自相关函数.若A,B相互独 立,且A ~ N(1,4), B ~U(0,2),则m X (t)及R X (t 1,t2 ) 为多少？ 一队学生顺次等候体检。 设每人体检所需的时间服从均值为 2 分钟的 指数分布并且与其他人所需时间相互独立， 则 1 小时内平均有多 少学生接受过体检在这 1 小时内最多有 40 名学生接受过体检的 概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令 N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为 30 的 poisson 过程。以小时为单位。 则E(N(1))30。 (30)k 30P(N(1) 40) e。 k! k0 40 在某公共汽车起点站有两路公共汽车。 乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强 度分别为 1 ， 2 ，当 1 路公共汽车有 N 1人乘坐后出发；2 路公共汽车 在有 N 2 人乘坐后出发。设在 0 时刻两路公共汽车同时开始等候乘客 到来， 求 （1） 1 路公共汽车比 2 路公共汽车早出发的概率表达式；（2） 当 N 1 =N 2 ， 1 = 2 时，计算上述概率。 解： 法一： （1） 乘坐 1、 2 路汽车所到来的人数分别为参数为 1 、 2 的 poisson 过程，令它们为N 1 (t)、N 2 (t)。T N 表示N 1 (t)=N 1 的发生时 1 刻，T N 表示N 2 (t)=N 2 的发生时刻。 2 f TN (t 1)  1  1 N1 (N 1 1)!t1 N11exp( 1t1) t 2 N21exp( 2t2 )f TN (t 2 )  2  2 N2 (N 2 1)! f TN,TN (t 1,t2 )  f TN|TN (t 1 |t 2 )f TN (t 2 )  12122  1 N1 (N 1 1)!t1 N11exp( 1t1)  2 N2 (N 2 1)!t2 N21exp( 2t2 ) P(T N T N )  0 dt 2  012 t2  1 N1 (N 1 1)!t1 N11exp( 1t1)  2 N2 (N 2 1)!t2 N21exp( 2t2 )dt 1 1 2 （2）当N 1 =N 2 、 1 = 2 时，P(T N T N )  P(T N T N )  1212 法二： （1）乘车到来的人数可以看作参数为 1 + 2 的泊松过程。 令Z 1 、Z 2 分别表示乘坐公共汽车 1、2 的相邻两乘客间到来的时 间间隔。则Z 1 、Z 2 分别服从参数为 1 、 2 的指数分布，现在来求 当一个乘客乘坐 1 路汽车后， 下一位乘客还是乘坐 1 路汽车的概 率。 p  P(Z 1  Z 2 ) dz 2  1 exp( 1z1)2 exp( 2 z 2 )dz 1 00 z2   1  1  2 。 故当一个乘客乘坐 1 路汽车后，下一位乘客乘坐 2 路汽车的概 率为 1- p  2  1  2 上面的概率可以理解为： 在乘客到来的人数为强度 1 + 2 的泊松 过程时，乘客分别以  1  概率乘坐公共汽车 1，以 2 的概  1  2  1  2 率乘坐公共汽车 2。 将乘客乘坐公共汽车 1 代表试验成功，那么有： P(1路汽车比2路汽车先出发） = N1N21 kN1  C k N  11 1(  1  1  2 )N1(  2  1  2 )kN1 （2）当N 1 =N 2 、 1 = 2 时 P(1路汽车比2路汽车先出发） =C kN 2N1 N1 k1 1 k 12N1 N1 1 k1 1 ( )   C k1 ( ) 22 kN 22 设{N i(t),t  0} ，(i 1,2, ,n)是n 个相互独立的 Poisson 过程，参数分别为  i (i 1,2,,n)。记T为全部n个过程中，第一个事件发生的时刻。 （1）求T的分布； （2）证明{N(t)  i1 N i (t),t  0}是Poisson 过程，参数为 i1  i ； nn （3）求当n个过程中，只有一个事件发生时，它是属于{N1(t),t  0}的概率。 解： （1）记第i个过程中第一次事件发生的时刻为t i1 ，i 1,2,.,n。 则T  min{t i1,i 1,2,., n} 。由t i1 服从指数分布，有 P{T  t}1 P{T t}1 P{min{t i1,i 1,2,.,n}t} 1 P{t i1  t,i 1,2,.,n}1P{t i1  t} i1 n 1{1(1e i1 n  it)}1exp{ it} i1 n （2）方法一：由{N i (t),i 1,2,., n}为相互独立的 poisson 过程，对 于s,t  0。 P{N(t s) N(t)  n} P{[N i (t s) N i (t)] n} i1 n   n in P{N (t  s) N (t)  n ,n iiii  n,i 1,2.,n} n in (s n i1 nexp(( i )s) i1i1 n nn i ni n i ! )  (s i )n n! exp(( i )s) i1 这里利用了公式( 1 . n )   n n in n i ni i1 n i !n! 所以{N(t)  N i (t),t  0}是参数为   i 的 poisson 过程。 i1i1 nn 方法二： 1 当h  0时， ○ P{N(t h) N(t) 1} P{[N i (