高一上学期数学压轴难题汇总

一．已知函数f (x)满足f (log a x)  a 1(x x )，其中a  0且 2a 1 a 1，对于函数f (x)，当x(1,1)时，f (1m) f (12m)  0，求实数m 的取值范围. 二．曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量 3x1 (x  0)已知生产此产品的年 x1 固定投入为 3 万元，每生产1 万件此产品仍需投入 32 万元，若每件售价是“年平均每件 成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和，当年产销量相等试将年利润 y （万元）表示为年广告费 x 万元的函数，并判断当年广告费投入 100 万元时，该公司是 亏损还是盈利？ Q（万件）与广告费 x（万元）之间的函数关系式是 Q= 三．已知函数fx log a  1 xlog a  1 x a  0且a 1， （1）求fx的反函数f1x； （2）若f11，解关于x的不等式f1x mm R. 四．定义在 R 上的单调增函数 f(x)，对任意 x，y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围． 五．已知圆 C：x2 y2 2x  4y  4  0. (1)写出圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜 率为 1 的直线 m，使m 被圆 C 截得的弦为 AB，且以AB 为直径的圆过原点.若存在， 求出直线 m 的方程; 若不存在,说明理由. 1 3 xx 22(log x) 7log x 3 0 y  (log)(log)的最大值与 六．已知x满足，求 1122 24 22 最小值及相应的x的值. 七．已知圆方程：x y  2ax  2y  a 1 0，求圆心到直线ax  y a 0的距离的 2 2 2 取值范围 八．已知函数fx ax2bxc,(a,b,cR且a  0) 九．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆 x2 y2 4x  4y  7  0相切，求光线 L 所在直线方程． 十．已知圆 O：x2 y21，圆 C：(x  2)2 (y  4)21，由两圆外一点P(a, b)引两圆切 线 PA、PB，切点分别为 A、B，如右图，满足|PA|=|PB|. （1）求实数a、b间满足的等量关系； （2）求切线长|PA|的最小值； （3）是否存在以 P 为圆心的圆，使它与圆 O 相内切 并且与圆 C 相外切？若存在，求出圆 P 的方程； 若不存在，说明理由. 答案：答案： 一．解：一．解：设 t  log a x ， x  at B P A a ttf (t) (a a ) 所以 2a 1 a xxf (x) (a a) 即 2a 1 二二 。解：。解：设每年投入 x 万元，年销量为Q  每件产品的年平均成本为32  3 ， Q 3x 1 万件， x 1 年平均每件所占广告费为 x ， Q 3  31xx9 32 48销售价为  22 QQ2Q   x9 3  x3 48 32 x 16Q x年利润为y  Q   2Q  Q  2  当 x=100 时，明显 y0 故该公司投入 100 万元时，该公司亏损 三．解：三．解： ey1ax1 1 x  y , f(x)  x (x e 1a 1 R R）；--------------------------（4 分） 11a 12x1 1f(1) , a  2, f(x)  x  m 33a 12 1 （2）， 1  2x(1 m) 1 m ；--------------------------（6 分） ①当 m 1时，不等式解集为xR R；--------------------------（8 分） ②当 1 m 1时，得 2x 1 m1 m {x | x  log 2 } 1 m ，不等式的解集为 1 m ；---------------（10 分） ③当 m  1时,x --------------------------（12 分） 四．(1)证证明明：：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R R)，① 令 x=y=0，代入①式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令 y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x) ． 即 f(-x)=-f(x) 对 任 意 x ∈ R R 成 立 ， 所 以 f(x) 是 奇 函 数．--------------（4 分） (2)解解： f(x)在 R R 上是单调增函数，，又由(1)f(x)是奇函数． f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2， 32x-(1+k)·3x+2＞0 对任意 x∈R R 成立． 令 t=3x＞ 0 ， 问 题 等 价 于t2-(1+k)t+2 ＞ 0对 任 意t ＞ 0 恒 成 立 ．--------------------（6 分） -------------------------- （ 8 分） --------------------------（10 分） 综上，k  12 2 --------------------------（12 分） 五．五． 六．解：六．解： 由题意可 得 1 1 3  log 1 x   ，∴  log 2 x  3 22 2 xx 又∵ y  (log 2 )(log 2 ) = (log 2 x 1)(log 2 x  2) 24 3 2 1 (log x )  = (log 2 x) 3log 2 x  2 = 2 24 13 ∴当 log 2 x  时， y min   ，当 log 2 x  3时，y max  2 42 1 即，当 x  2 2 时， y min   ；当 x 8 时， y max  2 4 2 七．解七．解: :将圆方程配方得(xa)  (y1) a2 a(2 分) 故满足a2a  0，解得a 1或a  0(6 分) 由方程得圆心(a,1)到直线ax  y a2 0的距离 22 d  |a21a2| a 1 2  1 a 1 2 ,a 1,a  0(10 分) 2 (14 分) 2  a21  2,得0  d  八．八． 九．九．．解：．解：已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1。 设光线L所在直线方程是：y－3＝k(x＋3)。 由题设知