高一数学难题解答

（ 1 8 ） （ 本 小 题 满 分9分 ） 加 工 件数， 某车间将 10 名技工平均分成甲、乙两组 某种零件， 在单位时间内每个技工加工的合格零 按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平 均数都为 10. （Ⅰ）求m,n的值； 22（Ⅱ）分别求出甲、乙两组数据的方差S 甲 和S 乙 ，并由此分析两组技工的加工水平； （Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进 行检测，若两人加工的合格零件数之和大于 17，则称该车间“质量合格”， 求该车间“质量合格”的概率． 222 1 注：x为数据x 1,x2 ,x n 的平均数，方差S2 x 1  xx 2  x  x n  x  n   （20） （本 小题满分 12 分） 对于函数f (x),g(x),(x)如果存在实数a,b使得(x)  a f (x)bg(x)，那么称 (x)为f (x),g(x)的 线 性 组 合 函 数 . 如 对 于f (x)  x1，g(x)  x22x， (x)  2 x2， 存在a  2,b  1， 使得(x)  2 f (x) g(x)， 此时(x)就是f (x),g(x) 的线性组合函数. （Ⅰ）设f (x)  x21,g(x)  x2 x,(x)  x22x3，试判断(x)是否为f (x),g(x) 的线性组合函数？并说明理由； （Ⅱ）设f (x)  log 2 x,g(x)  log 1 x,a  2,b 1，线性组合函数为(x)，若不等式 2 32(x)2(x)m  0在x2,4上有解，求实数m的取值范围；  （Ⅲ）设f (x)  x,g(x)  1 1≤ x ≤9，取a 1,b  0，线性组合函数(x)使(x) ≥b 恒 x k 成立，求b的取值范围．（可利用函数y  x（常数k  0）在(0,k]上是减 x 函数，在[ k,)是增函数） 21．设 f（x）=mx2+（m+4）x+3． （1）试确定 m 的值，使得 f（x）有两个零点，且 f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最 小值； （2）若 m=﹣1 时，在[0，λ]（λ 为正常数）上存在 x 使 f（x）﹣a＞0 成立，求 a 的取值范围． 【分析】 （1）f（x）为二次函数，令△ ＞0 得出 m 的取值范围，根据根与系数得关系用m 表示两根的绝 对值，求出新函数的最小值即可． （2）求出 f（x）在[0，λ]上的最大值 fmax（x） ，则 a＜fmax（x） ． 【解答】解： （1）∵ f（x）有两个零点，∴，解得 m≠0． 设 f（x）的两个零点为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ∴ |x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（ ）2﹣= ，x1x2=． ﹣+1=16（﹣）2+． ． ∴ 当 m=8 时，∴ |x1﹣x2|2取得最小值 ．∴ |x1﹣x2|的最小值为 （2）当 m=﹣1 时，f（x）=﹣x2+3x+3，f（x）的对称轴为 x=． ①若 0 ②若 ，则 fmax（x）=f（λ）=﹣λ2+3λ+3， ，则 fmax（x）=f（）=． ∵ 在[0，λ]（λ 为正常数）上存在 x 使 f（x）﹣a＞0 成立，∴ a＜fmax（x） ． 综上，当 0 当 时，a 的取值范围是（﹣∞，﹣λ2+3λ+3） ； ） ．时，a 的取值范围是（﹣∞， 【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题． 22．定义在D 上的函数 f（x） ，如果满足：对任意x∈D，存在常数 M，都有 f（x）≥M 成立，则称 f（x） 是 D 上的有下界函数，其中M 称为函数 f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0） ． （1）若函数 f（x）为偶函数，求 a 的值； （2）求函数 f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合． 【分析】 （1）根据函数奇偶性的定义求出a 的值即可； （2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna，+∞）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的 集合即可． 【解答】解： （1）函数 f（x）= 即（ex﹣e x）=a（﹣ （a＞0）是 R 上的偶函数，f（﹣x）=f（x） ， ）=a（ex﹣e x）在 R 恒成立，﹣ ﹣ ∴=a，解得：a=1， （a＞0） ， （2）在[lna，+∞）上任取 x1，x2，且 x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣a=（﹣）?， ∵ y=ex是增函数，lna≤x1＜x2， ∴ ∴ ∵ a? ﹣ ＞ ＞0， ＜0，∴ x1+x2＞2lna=lna2， =a2，∴ ﹣a2＞0， ∴ f（x1）﹣f（x2）＜0，即 f（x1）＜f（x2） ， ∴ 函数 f（x）在[lna，+∞）上是增函数， ∴ f（x）min=f（lna）= +=2， ∴ 函数 f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合是（﹣∞，2]． 【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题． 22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比， 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元（如图） ． （1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系； （2）该家庭现有 20 万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最 大收益为多少万元？ 【考点】函数模型的选择与应用． 【专题】函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】 （1）利用待定系数法确定出f（x）与 g（x）解析式即可； （2）设设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，根据 y=f（x）+g（x）列出二次函 数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果． 【解答】解： （1）设 f（x）=k1x，g（x）=k2， 由题意，可得 f（1）=0.125=k1，g（1）=k2=0.5， 则 f（x）=0.125x（x≥0） ，g（x）=0.5（x≥0） ； （2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为（20﹣x）万元， 由题意，得 y=f（x）+g（20﹣x）=0.125x+0.5 令 t=，则有 x=20﹣t2， （0≤x≤20） ， ∴ y=0.125（20﹣t2）+0.5t=﹣0.125（t﹣2）2+3， 当 t=2，即 x=16 万元时，收益最大，此时ymax=3 万元， 则投资债券等稳健型产品16 万元，投资股票等风险型产品4 万元获得收益最大，最大收益为4 万元． 【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 21．已知函数（x∈[1，+∞）且 m＜1） ． （Ⅰ）用定义证明函数 f（x）在[1，+∞）上为增函数； （Ⅱ）设函数，若[2，5]是 g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0 恒成立，求实数 m 的