长沙中考数学复习《二次函数》专项综合练习

一、二次函数一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的 A 处正对球门踢出 (点 A 在 y 轴上)，足球的飞行高度 y(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间满足函数关系 y＝ at2＋5t＋c，已知足球飞行 0.8s 时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 x＝10t，已 知球门的高度为 2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能 否将球直接射入球门？ 【答案】（1）足球飞行的时间是s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能. 【解析】 试题分析：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得 到 =4.5； （2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8，当 t=2.8 时，y=﹣ 到他能将球直接射入球门． 解：（1）由题意得：函数 y=at2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， ×2.82+5×2.8+ =2.25＜2.44，于是得 ，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+ ，当 t= 时，y 最大 8 5 解得：， ∴ 抛物线的解析式为：y=﹣ ∴ 当 t= 时，y 最大=4.5； t2+5t+ ， （2）把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8， ∴ 当 t=2.8 时，y=﹣×2.82+5×2.8+ =2.25＜2.44， ∴ 他能将球直接射入球门． 考点：二次函数的应用． 2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为 等腰三角形时，求点 P 的坐标； （3）如图 2，抛物线的顶点为 E，EF⊥x 轴于点 F，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴一个动点，若∠ MNC＝90°，请求出 m 的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点 P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣ 2,2）；（3） 【解析】 【分析】 5  m  5 4 （1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式； （2）由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设 P（t，3﹣t），即可得 D（t，﹣ t2+2t+3），即可求得 PD 的长，然后分三种情况讨论，求点P 的坐标； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣ 据 n 的取值得到最小值． 【详解】 解：（1）∵ 抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3）， 3 2 5 ） ﹣，然后根 24 1bc  0 ∴ ，解得 b＝2，c＝3． c 3  故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）令﹣x2+2x+3＝0， 解得 x1＝﹣1，x2＝3， 即 B（3，0）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b′， b  3 则， 3k b  0  解得：k=-1,b’=3 故直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3； ∴ 设 P（t，3﹣t）， ∴ D（t，﹣t2+2t+3）， ∴ PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t， ∵ OB＝OC＝3， ∴ △ BOC 是等腰直角三角形， ∴ ∠ OCB＝45°， 当 CD＝PC 时，则∠ CPD＝∠ CDP， ∵ PD∥ y 轴， ∴ ∠ CPD＝∠ OCB＝45°， ∴ ∠ CDP＝45°， ∴ ∠ PCD＝90°， ∴ 直线 CD 的解析式为 y＝x+3， y  x3x 0x 1 解得或 2y  x 2x3y 3y  4  ∴ D（1，4）， 此时 P（1，2）； 当 CD＝PD 时，则∠ DCP＝∠ CPD＝45°， ∴ ∠ CDP＝90°， ∴ CD∥ x 轴， ∴ D 点的纵坐标为 3， 代入 y＝﹣x2+2x+3 得，3＝﹣x2+2x+3， 解得 x＝0 或 x＝2， 此时 P（2，1）； 当 PC＝PD 时，∵ PC＝2t， ∴ 2t＝﹣t2+3t， 解得 t＝0 或 t＝3﹣2， 此时 P（3﹣2，2）； 综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2，2） （3）如图 2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴ E（1，4）， 设 N（1，n），则 0≤n≤4， 取 CM 的中点 Q（ ∵ ∠ MNC＝90°， m3 ，）， 22 1 CM， 2 ∴ 4NQ2＝CM2， ∴ NQ＝ ∵ NQ2＝（1﹣ m 2 3 ） +（n﹣）2， 22 ∴ 4[（1﹣ m 2 3 ） +（n﹣）2]＝m2+9， 22 3 2 5 ） ﹣， 24 整理得，m＝（n﹣ ∵ 0≤n≤4， 当 n＝ 35 时，m 最小值 ＝﹣，n＝4 时，m＝5， 24 5 ≤m≤5． 4 综上，m 的取值范围为：﹣ 【点睛】 此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的 应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合 思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 3．对于某一函数给出如下定义：若存在实数m，当其自变量的值为m 时，其函数值等于 ﹣m，则称﹣m 为这个函数的反向值．在函数存在反向值时，该函数的最大反向值与最小 反向值之差 n 称为这个函数的反向距离．特别地，当函数只有一个反向值时，其反向距离 n 为零． 例如，图中的函数有 4，﹣1 两个反向值，其反向距离n 等于 5． （1）分别判断函数 y＝﹣x+1，y＝ 离； （2）对于函数 y＝x2﹣b2x， 1 ，y＝x2有没有反向值？如果有，直接写出其反向距 x ①若其反向距离为零，求b 的值； ②若﹣1≤b≤3，求其反向距离 n 的取值范围； x 23x(x  m) （3）若函数 y＝ 2 请直接写出这个函数的反向距离的所有可能值，并写出 x 3x(x  m) 相应 m 的取值范围． 1 有反向值，反向距离为2；y＝x2有反向值，反向距离是1；（2） x ①b＝±1；②0≤n≤8；（3）当 m＞2 或 m≤﹣2 时，n＝2，当﹣2＜m≤2 时，n＝4． 【解析】 【分析】 【答案】（1）y＝− (1)根据题目中的新定义可以分别计算出各个函数是否有方向值，有反向值的可以求出相应 的反向距离； (2)①根据题意可以求得相应的b 的值； ②根据题意和 b 的取值范围可以求得相应的n 的取值范围； (3)根据题目中的函数解析式和题意可以解答本题． 【详解】 (1)由题意可得， 当﹣m＝﹣m+1 时，该方程无解，故函数y＝﹣x+1 没有反向值， 当﹣m＝ 11 时，m＝±1，∴ n＝1﹣(﹣1)＝2，故 y＝有反向值，