高考高中数学选修-5不等式知识点考点归纳整理

高考高中数学选修高考高中数学选修 4--54--5 不等式知识点考点归纳整理不等式知识点考点归纳整理 1 1、不等式的基本性质、不等式的基本性质 ①（对称性）a b  b  a ②（传递性） a  b,b  c  a  c ③（可加性）a b  ac bc （同向可加性）a b,cdacbd （异向可减性）a b,cdacbd ④（可积性）a b,c 0 acbc ab,c 0 acbc ⑤（同向正数可乘性）a  b  0,c  d  0  ac  bd （异向正数可除性） a  b  0,0  c  d  ab  cd nn ⑥（平方法则）a  b  0  a  b (n N,且n 1) nn ⑦（开方法则）a  b  0  a b(n N,且n 1) a  b  0  ⑧（倒数法则） 2 2、几个重要不等式、几个重要不等式 1111 ;a  b  0  abab a2b2 ab . a2b2 2aba，bR a  b2 ①,（当且仅当时取““号）.变形公式： ab aba，bR ②（基本不等式） 2 ,（当且仅当a  b时取到等号）.  ab ab   .  2  变形公式： a b  2 ab 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2 abc 3abc (a、b、cR ) （当且仅当 a b  c 时取到 3 ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 等号）. ④ a2b2c2 abbccaa，bR （当且仅当a  b  c时取到等号）. 333a b c  3abc(a  0,b  0,c  0) ⑤ （当且仅当a b  c时取到等号）. ba 若ab  0,则 2 ab ⑥（当仅当 a=b 时取等号） ba 若ab 0,则  2 ab （当仅当 a=b 时取等号） bb  ma  na 1 b  nb ，⑦ aa  m （其中 a  b  0，m  0，n  0) 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. ⑧当a 0时， x a  x 2a2 x a或x a; x  a  x2 a2 a  x  a. ⑨绝对值三角不等式 3 3、几个著名不等式、几个著名不等式 a  b  ab  a  b . 2aba2b2 ab   11（a,bRab22 ①平均不等式：，，当且仅当a  b时取““号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 变形公式： 22 2 aba b(ab) 22ab ;a b .   2  2 2 2 ②幂平均不等式： a 1 2a 2 2.a n 2 1 (a 1 a 2 .a n )2. n ③二维形式的三角不等式： x 1 2 y 1 2x 2 2 y 2 2(x 1  x 2 )2(y 1  y 2 )2(x 1, y1,x2 , y 2 R). ④二维形式的柯西不等式： 22222(a b )(c d )  (ac bd) (a,b,c,d R). 当且仅当ad bc时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： (a 1 2 a 2 2 a 3 2)(b 1 2b 2 2b 3 2)  (a 1b1 a 2b2 a 3b3 )2. ⑥一般形式的柯西不等式： (a 1 2a 2 2. a n 2)(b 1 2b 2 2.b n 2) (a 1b1 a 2b2 .a nbn )2. ⑦向量形式的柯西不等式：  , , 设是两个向量，则当且仅当  是零向量，或存在实数k，使  k 时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理） ： 设 a 1  a 2 . a n ,b 1  b 2 . b n为 两 组 实 数 . c 1,c2 ,.,c n是 b 1,b2 ,.,b n的 任 一 排 列 ， 则 a 1bn a 2bn1 .a nb1  a 1c1 a 2c2 .a ncn  a 1b1  a 2b2 . a nbn. 且仅当 （反序和乱序和顺序和） ，当 a 1  a 2 . a n或 b 1  b 2 . b n时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数 f (x) ,对于定义域中任意两点 x 1,x2 (x 1  x 2 ), 有 f ( x 1  x 2 f (x 1) f (x2 ) ) 或 22 f ( x 1  x 2 f (x 1) f (x2 ) ) . 22则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4 4、不等式证明的几种常用方法、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法） 、综合法、分析法； 其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： 131 (a)2 (a)2; 242 ①舍去或加上一些项，如 ②将分子或分母放大（缩小） ， 11112212 ,,, 22kk(k 1)kk(k 1) k kkk k 1 如 2 k 12 (kN*,k 1) kk k 1 等. 5 5、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法 2ax bxc  0(或  0) 求一元二次不等式 (a  0,  b24ac  0) 解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6 6、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法. . 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出不等式的 解集. 7 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 f (x)  0  f (x)g(x)  0 g(x)  f (x)g(x)  0f (x)  0  g(x) g(x)  0“或” （时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴  f (x)  0 f (x)  a(a  0)  2 f (x)  a  f (x)  0 f (x)  a(a  0)  2f (x)  a   f (x)  0  f (x)  0 f (x)  g(x) g(x)  0或  f (x) [g(x)]2 g(x)  0 