高教版中等职业学校职业高中平面向量的内积教案课件
. 【课题课题】7.37.3 平面向量的内积平面向量的内积 【教学目标】【教学目标】 知识目标:知识目标: (1)了解平面向量内积的概念及其几何意义. (2)了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标:能力目标: 通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力. 【教学重点】【教学重点】 平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】【教学难点】 数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角. 【教学设计】【教学设计】 教材从某人拉小车做功出发,引入两个向量内积的概念.需要强调力与位移都是向量, 而功是数量.因此,向量的内积又叫做数量积. 在讲述向量内积时要注意: (1)向量的数量积是一个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量的夹角余 弦的乘积.其符号是由夹角决定; (2)向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到,其中: (1)当=0 时,a a·b b=|a a||b b|;当=180时,a a·b b=-|a a||b b|.可以记忆为:两 个共线向量, 方向相同时内积为这两个向量模的积; 方向相反时内积为这两个向量模的积的 相反数. (2)|a a|=a aa a显示出向量与向量的模的关系,是得到利用向量的坐标计算向量模的 公式的基础; (3)cos= 础; (4) “a a·b b=0a ab b”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示 的重要基础. 【教学备品】【教学备品】 a ab b ,是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基 |a a ||b b| .w . 教学课件. 【课时安排】【课时安排】 2 课时.(90 分钟) 【教学过程】【教学过程】 教教学学 过过程程 * *揭示课题揭示课题 7.37.3 平面向量的内积平面向量的内积 * *创设情境创设情境 兴趣导入兴趣导入 F 教师教师 行为行为 介绍 s s 质疑 引导 分析 总结 归纳 学生学生 行为行为 了解 思考 自我 分析 思考 教学教学 意图意图 从 实 例 出 发 使 学 生 自 然 的 走 向 知 识点 带领 学生 分析 时时 间间 0 5 O 30 图 7—21 如图 7-21 所示,水平地面上有一辆车,某人用100 N 的 力,朝着与水平线成30角的方向拉小车,使小车前进了 100 m.那么,这个人做了多少功? * *动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 【新知识】 我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离 的乘积.如图 7-22 所示,设水平方向的单位向量为 i i,垂直 方向的单位向量为 j j,则 F F xi +i + y j j F F sin30 i i F F cos30 j j, 即力 F F 是水平方向的力与垂直方向的力的和, 垂直方向上没有 产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s s,即 3 W=|F F|cos30·|s s|=100×·10=500 3 (J) 2 .w . 教教学学 过过程程 y F(x,y) 教师教师 行为行为 学生学生 行为行为 理解 记忆 教学教学 意图意图 引导 式启 发学 生得 出结 果 时时 间间 15 j j Oi ix 图 7-22 这里,力 F F 与位移 s s 都是向量,而功 W 是一个数量,它 等于由两个向量 F F,s s 的模及它们的夹角的余弦的乘积,W 叫 做向量 F F 与向量 s s 的内内 积积, ,它是一个数量,又叫 做数量积数量积. 如图 7-23, 设有两 个非零向量 a a, b b,作OA =a a,OB=b b,由射线OA 与 OB 所形成的角叫做向量a a 与向量 b b 的夹角夹角,记作b. 两个向量 a a,b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a a 与 向量 b b 的内积内积,记作 a a·b b, 即 a a·b b=|a a||b b|c cos(7.10) 上面的问题中,人所做的功可以记作W=F F·s. s. 由内积的定义可知 a a·0 0=0, 0 0·a a=0. 由内积的定义可以得到下面几个重要结果: (1)当=0 时, a a· b b=|a a||b b|; 当=180时, a a· b b = |a a||b b|. a a b b (2)cos=. |a a ||b b| O 图 7-23 A 仔细 分析 讲解 关键 词语 b b B a a 思考 .w . 教教学学 过过程程 (3)当 b b=a a 时,有=0,所以 a a·a a=|a a||a a|=|a a|2, 即|a a|=a aa a. (4)当 a a,b b 90时 , a ab b ,, 因 此 , a a · b b = a a b b cos90 0,因此对非零向量 a a,b b,有 教师教师 行为行为 总结 归纳 仔细 学生学生 行为行为 理解 记忆 教学教学 意图意图 带领 学生 分析 反 复 强调 时时 间间 30 a a·b b=0a ab. b. 可以验证,向量的内积满足下面的运算律: (1)a a·b b=b b·a a. (2)( a )·b b=(a a·b b)=a a·(b b). (3)(a a+b b)·c c=a a·c c+b b·c c. 注意注意:一般地,向量的内积不满足结合律,即 a a·(b b·c c)≠(a a·b b) ·c c. 请结合实例进行验证. * *巩固知识巩固知识 典型例题典型例题 例例 1 1 已知|a a|=3,|b b|=2, =60,求 a a·b b. 解解a a·b b=|a a||b b| cos =3×2×cos60=3. 例例 2 2 已知|a a|=|b b|= 2,a a·b b= 分析 讲解 关键 词语 说明 强调 引领 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40 45 2,求. 解解cos= 22 a ab b ==. |a a ||b b|22 2 由于0≤≤180, 所以=135. * *运用知识运用知识 强化练习强化练习 1. 已知|a a|=7,|b b|=4,a a 和 b b 的夹角为60,求 a a·b b. 2. 已知 a a·a a=9,求|a a|. 3. 已知|a a|=2,|b b|=3, =30,求(2a a+b b)·b b.. 提问 巡视 指导 思考 口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 .w . 教教学学 过过程程 * *动脑思考动脑思考 探索新知探索新知 设平面向量 a a=(x x1,y1),b b=(x x2,y2),i i,j j 分别为 x 轴,y 轴上 的单位向量,由于 i i⊥j j,故 i i·j j =0,又| i i |=|j j|=1,所以 a a·b b=(x1 i i+y1j j)· (x2 i i+y2j j) = x1x2i i •i i+ x1y2i i •j j+ x2y1 i i •j j + y1y