高中数学-平面向量的概念及其线性运算分层练习

高中数学高中数学- -平面向量的概念及其线性运算分层练习平面向量的概念及其线性运算分层练习 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.①有向线段就是向量,向量就是有向线段; ②向量 a a 与向量 b b 平行,则 a a 与 b b 的方向相同或相反; ③向量与向量共线,则 A,B,C,D 四点共线; ④如果 a a∥b b,b b∥c c,那么 a a∥c c. 以上命题中正确的个数为() A.1B.2C.3D.0 【解析】选 D.①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段; ②不正确,若 a a 与 b b 中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相 同或相反; ③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④不正确,当 b b=0 时,a a 与 c c 不一定平行, 故正确命题的个数为 0. 2.设 a a 是非零向量,λ 是非零实数,下列结论中正确的是() A.a a 与 λa a 的方向相反 2 B.a a 与 λ a a 的方向相同 C.|-λa a|≥|a a| D.|-λa a|≥|λ|·a a 【解析】选 B.对于 A,当 λ0 时,a a 与 λa a 的方向相同,当 λ0 时,a a 与 λa a 的方向相反.B 正确;对于 C,|-λa a|=|-λ||a a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa a|与|a a|的大小关系不确定;对于 D,|λ|a a 是向量,而 |-λa a|表示长度,两者不能比较大小. 3.(·威海模拟)设 a a,b b 不共线, () A.-2 =2a a+pb b,=a a+b b,=a a-2b b,若 A,B,D 三点共线,则实数 p 的值为 B.-1C.1 = D.2 +=2a a-b b.又因为 A,B,D 三点共线,所以,共【解析】选 B.因为 线.设=λ =a a+b b,=a a-2b b,所以 ,所以 2a a+pb b=λ(2a a-b b),所以 2=2λ,p=-λ,即 λ=1,p=-1. =a a+2b b,=-5a a+6b b,=7a a-2b b,则一定共线的三点是()【变式备选】已知向量 a a,b b,且 A.B,C,D C.A,B,D B.A,B,C D.A,C,D =+【解析】选 C.因为=-5a a+6b b+7a a-2b b=2a a+4b b=2(a a+2b b)=2,所以 A,B,D 三点共线. 4.设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 P,则下列命题中正确的个数是() ①=+;②=(+);③=-;④=. A.1 B.2 C.3 D.4 - 1 - 【解析】选 C.因为由向量加法的平行四边形法则,知① 由向量减法的三角形法则,知③ ④=是错误的. =2,=a a,=b b, =- =+ , ,②=(+)都是正确的, 是正确的,因为的大小相同,方向相反,所以 【变式备选】如图所示,已知=c c,则下列等式中成立的是 A.c c=b b-a aB.c c=2b b-a a C.c c=2a a-b bD.c c=a a-b b 【解析】选 A.由=2得 +=2(+),即 2=-+3,即 c c=b b-a a. 5.在△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,则= () A.+B.+ C.+D.+ 【解析】选 D.如图,因为=,又因为=+,所以=+. 6.如图所示,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,E 为 AO 的中点,若 =λ+μ(λ,μ 为实数),则 λ2+μ2=() A.B.C.1D. () - 2 - 【解析】选 A.=+=+=+(+)=-,所以 λ=,μ=-, 故 λ +μ =. 7.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点,=3,F 为 AE 的中点,则= () 22 A.-B.- C.-+D.-+ 【解析】选 C.方法一:如图,取 AB 的中点 G,连接 DG,CG,则易知四边形 DCBG 为平行四边形,所以 ==-=-,所以=+=+=+(-)=+,于 是=-=-=-= -+. 方法二:=+=+ =-+(++) =-+(++) =-+++(++) =-+. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) - 3 - 8.给出下列四个命题: ①若 a a+b b 与 a a-b b 是共线向量,则 a a 与 b b 也是共线向量; ②若|a a|-|b b|=|a a-b b|,则 a a 与 b b 是共线向量; ③若|a a-b b|=|a a|+|b b|,则 a a 与 b b 是共线向量; ④若||a a|-|b b||=|a a|+|b b|,则 b b 与任何向量都共线. 其中为真命题的有________(填上序号). 【解析】由向量的平行四边形法则知道,若 a a+b b 与 a a-b b 是共线向量,则必有 a a 与 b b 也是共线向量.所以①是 真命题;若|a a|-|b b|=|a a-b b|,则 a a 与 b b 同向,或 b b 是零向量或 a a,b b 均为零向量,所以 a a 与 b b 是共线向量,所以② 是真命题;若|a a-b b|=|a a|+|b b|,则 a a 与 b b 方向相反,或 a a,b b 中至少有一个零向量,所以 a a 与 b b 是共线向量,所以 ③是真命题;当 a a 是零向量,b b 是非零向量时,||a a|-|b b||=|a a|+|b b|成立,而 b b 不能与任何向量都共线,所以④ 是假命题. 答案:①②③ 9.直线l上有不同三点 A,B,C,O 是直线l外一点,对于向量 sin α(α 是锐角)总成立,则 α=________. =λ,所以-=λ(-), =(1-c cos α)+ 【解析】 因为直线l上有不同三点 A,B,C,所以存在实数 λ,使得 即=+λ, 所以 答案:45° 所以 sin α=cos α,因为α是锐角,所以α=45°. 10.设e e1,e e2是两个不共线的向量,已知 值为________. 【解析】因为 =- =2e e1+ke e2, =(2e e1-e e2)-(e e1+3e e2) =2e e1+ke e2,=e e1+3e e2,=2e e1-e e2,若 A,B,D三点共线,则实数k的 =e e1-4e e2, 由 A,B,D 三点共线,得∥, 所以 2e e1+ke e2=λ(e e1-4e e2), 所以 答案:-8 则 k=-8. 【变式备选】若点 O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足| ________. 【解析】 所以| -|=|+-2|,则△ABC 的形状为 + + -2 |=|- =(-)+(-)=+,-==-, |,故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. - 4 - 答案:直角三角形 1.(5 分)已知 a a,b b 是非零向量,则“a a 与 b b 不共线”是“|a a+b b||a a|+|b b|”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要