高中必修一幂指数反函数数学教案
反函数反函数 一、复习引入：一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数y f (x)与y f 1(x)间的关系： ----定义域、值域相反，对应法则互逆； 3．反函数的求法：一解、二换、三注明一解、二换、三注明 4. 在平面直角坐标系中，①点A(x,y)关于 x 轴的对称点A (x,-y); ②点 A(x,y)关于 y 轴的对称点A (-x,y);③点 A(x,y)关于原点的对称点A (-x,-y);④点 A(x,y)关于 y=x 轴的 对称点A (?,？); 5.我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系 （在定义域、值域和对应法则方面）. 函数图象 是从“形”的方面反映这个函数的自变量x 与因变量 y 之间的关系.因此，互为反函数的函数图象间也必然有 一定的关系，今天通过观察如下图像研究—互为反函数的函数图象间的关系. ①y 3x 2 ②y x3 (xR)的反函数是y (x R)的反函数是y 3x x 2 3 (xR) (x R) y x3(xR) x 2 y (x R) 3 y 3x2(xR) 二、讲解新课：二、讲解新课： 1．探究互为反函数的函数的图像关系 y 3x(x R) 观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数y f (x)的图象和它的反函数y f 直线y x对称. 2．证明结论（不要求掌握，根据实际情况处理） 证明：设 M(a,b)是y f (x)的图象上的任意一点， 则当 x=a 时，f (x)有唯一的值f (a) b. ∵y f (x)有反函数y f ∴当 x=b 时，f 1 1 yf(x) P M M 1(x)的图象关于 (x)， 1 y f1(x) (x)有唯一的值f 1 (b) a， 即点M (b,a)在反函数y f (x)的图象上. 若 a=b，则 M，M 是直线 y=x 上的同一个点，它们关于直线y=x 对称. 若 ab，在直线 y=x 上任意取一点 P(c,c)，连结 PM，PM ，MM 由两点间的距离公式得： PM= (a c) (b c) ,PM = (b c) (a c) ， ∴PM=PM .∴直线 y=x 是线段 MM 的垂直平分线， ∴点 M,M 关于直线 y=x 对称. 2222 ∵点 M 是 y=f(x)的图象上的任意一点， ∴y f (x)图象上任意一点关于直线 y=x 的对称点都在它的反函数y f 与y f 1 1(x)的图象上，由y f (x) 1(x)互为反函数可知， 函数y f(x)图象上任意一点关于直线 y=x 的对称点也都在它的反函 数y f (x)的图象上， ∴函数y f (x)与y f 1(x)的图象关于直线 y=x 对称. 逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数. 3．应用：⑴利用对称性作反函数的图像 若y f (x)的图象已作出或比较好作，那么它的反函数y f 直线 y=x 对称而得到； ⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同。 三、讲解例题： 例 1．求函数y x2 1(x)的图象可以由y f (x)的图象关于 (x 0)的反函数,并利用对称yx2(x0) 关系作出其反函数的图象. 解：∵原函数的定义域是x0, ∴由 y=x解出x y, ∴函数y x2 2 y x(x0) (x 0)的反函数是y x(x 0), (x 0)的图 2 作 y=x(x(-∞,0))的图象，再作该函数关于直线 y=x 的对称曲线，即为函数y x 象（如图）. 例 2．求函数y 5x 8 的值域． 3x 2 分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系. 解：∵y 2y 85x 85 ∴x ∴y≠ 3y 533x 2 ∴函数的值域为{y|y≠ 例 3 已知f (x)= 5 } 3 11 1 (x-1)，求f ( )； 31 x2 y 1y 11y 1 2x ，∴=--①，∵x-1，∴x=-;⑵∵x-1，由①式知≥ 2yyy1 x 解法 1：⑴令f (x)=y= 1,∴y0; ⑶∴f 1(x)= - x 1 (x0)；⑷f x 1 1 1 ( )=-2. 3 1 分析：由y=f (x)与 y=f 当 x=b 时 y=a，本题要求f 1 (x)互为反函数的关系可知：当y=f (x)中的 x=a 时 y=b，则在y=f(x)中, 111 ( )，设其为u，说明在函数f (x)=y= (x-1)中，当y=时，x=u，问 2331 x 题转化为知原来函数中的y= 解法 2：令 1 而求 x. 3 11 2 =，变形得=1+3=4，又∵x-1，∴x=-2. x 231 x 说明：解法2 显然比解法 1 简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍的效果 . 补充：补充：设函数 y=f (x)的反函数为 y=g(x)，求 y=f (x)的反函数. 解：在函数 y=f (x)中，x 为自变量，y 为函数，且由题意知-x=f 反函数为 y=-f 又∵g(x)= f1 1 1(y), ∴x=-f1(y)，∴y=f (x)的 (x)， (x),∴y=f (x)的反函数为 y=-g(x). 幂函数 一. 知识要点 形如 y＝xa的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数. 1. 幂函数 y=xn随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法. 11 熟练掌握 y=xn，当 n=±2，±1，±2，3，3 时的图像和性质，列表如下： 2. 幂函数性质归纳. （1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图像都过点（1，1） ； （2）a 0时，图像都通过两点（0，0） 、 （1，1） ；并且在区间[0,)上是增函数. 需特别注意的是，当a 1 时，幂函数的图像下凸；当0 a 1时，幂函数的图像上凸； （3）当a 0时，图像都通过一点（1，1） ；图像在区间(0,)上是减函数. 在第一象限内，当x从右边趋 向原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当x趋于 时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 【典型例题】【典型例题】 例 1、比较下列各组数的大小： （1）分析：分析：底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小的问题， 根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了. （3）分析：分析：为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数. 即 评述：评述：此例充分显示了化归转化思想在比较幂函数大小中的运用. x2 x22 例 2、已知x x 解：解：∵x x ∴ 1 2 1 2 1 2 3，求x x 3 2 3 23的值. 1 2 1 2 3， (x x) 9 ， 1
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