跳水跳板的力学浅析

跳水跳板的力学浅析跳水跳板的力学浅析 一，一， 问题背景问题背景 跳水作为一项传统体育项目，为众人所熟 知。 然而跳水这一简单的体育运动的背后却蕴 含着复杂的力学原理。 本组从跳水的基本器件 跳水跳板出发， 以材料力学的基本原理为指导， 进行一些基本研究。 二，二， 解题思路及方法解题思路及方法 （一）（一） ，首先对跳板进行简化分析，首先对跳板进行简化分析 1 1，研究构件，研究构件：跳水跳板（起跳过程简化）=简支梁+悬臂梁 （说明：其中力 F 模拟运动员起跳时对跳板所施加的力， 假设跳板受 力瞬间不变形。 ） a F A  F l F A l al F B  F l 图一：跳水跳板受力简化 B a 2 2，分析其中的形变情况，分析其中的形变情况： （（1 1）） ，弯曲内力分析：跳板的剪力图和弯矩图，弯曲内力分析：跳板的剪力图和弯矩图 M max  Fa F  F a 此处最危险！ ！ ！ A l AB l F l B  F a l a F a T T l － F + MM _ - Fa 图二：跳板的剪力及弯矩 F （（2 2）） ，，弯曲变形分析：跳板的挠度和转角弯曲变形分析：跳板的挠度和转角 运动员起跳后， 跳板发生强烈的 形变，挠度和转 角变化巨大 FA 备注：挠曲线近似微分方程：备注：挠曲线近似微分方程：EIW``= -M(x)EIW``= -M(x) （（3 3）） ，弯曲应力的分析，弯曲应力的分析 θ θ θ F A l 图三：跳板的挠度及转角 FB B W a 跳板的强度条件 M max max     W M max max  W 2bh W  6 根据最大弯曲根据最大弯曲 正应力公式正应力公式 ：： （二）（二） ，构件受冲击荷载作用时的动荷载因数计算，构件受冲击荷载作用时的动荷载因数计算 构件如图四（研究 BC 段跳板） ，假设板最大位移时仍在线弹性范围 内，则达到最大位移时减少的势能E p， 将等于积蓄在板内的应变能V d 。 即：Vd h C P  E p （1） A l B a 最大位移减小的势能为：  d E p  P(h  d ) （2） 图四：构件受物体冲击作用 1 F d a3 应变能Vd F d  d 而板最大位移与冲击力的关系为 d （3） 2 48EI 148EI 2V( 3 ) d （4）所以可以推出： d 2a 148EI 2 Pa31 将 （2）（5） 代入 （1） 可推出： P(h d ) ( 3 ) d (h d ) 2 d 2a48EI2 Pa3 将用 st 替代， st 为将冲击物的重量 P 当作静荷载时，板在被冲 48EI 2 击 C 处的静挠度。于是将上式改写为： d 2 st  d 2 st h  0  d  (1 1 由此解得 d 两个根， 并取其中大于 d 的一个， 即： 2h ) st  st 于是得到动荷载因数： 2h K d 1 1  st 三，例题分析三，例题分析 1 1，， 跳水板的具体尺寸如图所示， 其横截面为矩形， 尺寸为 b = 0.5m， h = 0.05m， 跳板的弹性模量 E = 70GPa ，比重 γ = 25kN/m3，a = 3.2m，l =1.6m。 运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点 C， 再从跳板上弹起至 空中完成动作后落水。设运动员体重G = 700N，最大弹跳高度H = 0.6m，取g = 9.8m/s2。 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运 动员质心距跳板 C 端的最小距离 s 应大于 0.5m。试确定运动员从跳板上跃时所 需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动） ；不计跳板质量，将运动员视为刚 体时，运动员冲击跳板时，试计算跳板中的最大动应力；如考虑跳板质量，再次 计算跳板中的最大动应力，并进行比较；如将运动员视为弹性体，则跳板中的最 大动应力有何不同（定性说明）。 解：1 1，最小水平速度的求解，最小水平速度的求解 1 2 2H gt  H t  0.35(s) 2g 0.5  0.714(m/s)2v 0t  0.5 v0  2t 2 2，不计跳板质量，且视运动员为刚体时的最大动应力计算，不计跳板质量，且视运动员为刚体时的最大动应力计算 受力分析如图：FA x G=700N A B C FB w l 2l y F B  3G F A  2G 且且 M 1(x) Gx M(x) Gx3G(x2l) (0 x  2l) (2l  x 3l) 根据挠曲线近似微分方程可得： EIW 1 `` GxEIW 2 `` 3G(x2l)Gx 11 2 1 2`EIW 1 ` Gx2C 1 EIW 3G(x 2xl)Gx C 22 222 11 3 1 32EIW 1  Gx3C 1x D1 EIW 2 3G(x  x l)Gx C 2 x D 2 666 `` 且当 x=2l 时有：W 1 W 2 W 1 W 2 2Gl2C 1 3G(2l24l2)2Gl2C 2 则有 4 3 4 3 4 33Gl 2lC 1  D 1 3G( l 4l )Gl 2lC 2  D 2 333 C 1  6Gl2C 2 D 1  4Gl  D 2 3  当 x=2l 时 W 1  0； x=3l 时W 2  0 4 Gl32lC 1  D 1  0 3 则有 9 3 9 3G( l 9l3)Gl33lC 2D2  O 22 代入式  8 4 C 1 Gl2Gl32lC 1  D 1  0 33 则 D 1  4Gl3 4Gl33lC 1 D 1 0 18 EIW 3 1  Gx3Gl2x4Gl 所 以 ： 63 4Gl3 且 x0   EI   W  4Gl3 W 1C,st EI  0.03146(m) I  bh3 12 所以，此时动荷载因数为K d 1 1 2H   7.2565 C,st 又因为M max  2Gl  2240(N •M) 所以最大动应力：  M max max  K d W  78.02(Mpa) 3 3，考虑跳板质量时的最大动应力计算，考虑跳板质量时的最大动应力计算 本问利用叠加法计算挠度， 把跳板的质量视作加入一个大小为 q 的均布荷载, 受力分析如图： FA q x A B FB l 2l y F 3 M(x)  1 2(0  x  2l) 由图可得 A   2 ql 2 qx F 9 M(x)  1 B  2 ql 2 qx2 9 2 ql(x2l)(2l  x  3l) w 根据挠曲线近似微分方程可得： 191 EIW 3 `` qx2IEW 4 ``ql(x2l)qx2 222 1911 EIW 3 ` qx3C 3 EIW 4 `ql(x22lx