简明微积分教案0201导数的概念

教案 —— 0201 课程机电数学课题导数的概念 授课对象机电类专业三年制高职生课时2 教材《简明微积分》 主编：李亚杰，高等教育出版社 认知 目标 1、理解导数概念； 2、掌握导数的几何意义 3、熟练掌握基本初等函数的导数公式。 1、学会求专业课中涉及质量非均匀分布的金属棒任意点的线密度的 方法。 2、会求基本初等函数的导数； 3、逐步提高数学思维能力，分析问题和解决问题的能力。 教学 目标 能力 目标 素质 目标 提高数学文化修养，培养数学思维、数学应用意识 教学 重点 1．理解导数的概念 2、函数求导公式的正确运用； 教学 难点 导数的概念理解 教学 思路 通过实例引入和说明导数的概念； 结合图形讲解导数的意义； 利用导数的 概念解决应用问题； 典型例题结合练习巩固和记忆所学求导公式， 从中渗透素 质教育。 学习效果 评价方式 作业反馈与提问 教教 学学 过过 程程 步 骤 01 02 教/学活动 教师介绍 使学生对 所学略有 认识 教师板书 教师举例 师生结合 图形共同 分析解决 PPT 教学内容 导数和微分是微积分学中的关键概念 .导数反映了函数相对 于自变量变化而变化的快慢程度，即函数的变化率，它使得人们 能够用数学工具描述事物变化的快慢及解决一系列与之相关的 问题，所以在科学、工程技术及经济等各领域有着极其广泛的应 用.而微分则阐明当自变量有微小改变时，函数大体上改变了多 少.本章主要介绍这两个概念及简单的运算问题. 一、导数的概念 引例引例 1[1[非均匀细棒的线密度非均匀细棒的线密度] ] 均 匀 细 棒 的 线 密 度 有 计 算 公 式 ：  时间 （分） m 。 l 对非均匀细棒，如何计算其某一点x0处的线密度呢？ 分析：取棒的一端为原点，另一端的坐标为棒长 L，棒所在的直 线为 x 轴。对于棒上的任意一点x,0,x上的质量是 x 的函数， 记为m  m(x)。 棒长从x0变化到x0 x一段， 棒长x的质量 为m  m(x0 x)  m(x0)， 比值 mm(x 0  x)  m(x 0 )  xx 为棒在x0,x0 x上的平均密度。显然，x越小，用平均密 度 m 越能表示在x0处质量密度。令x  0，如果极限 x m(x 0  x)  m(x 0 )m  lim 存在，则称为函数m(x)在 x0 x x0 x lim x 0 处的线密度。 即(x0)  lim m(x 0  x)  m(x 0 )m  lim x0 x x0 x 引例引例 2[2[曲线在某一点切线的斜率曲线在某一点切线的斜率] ] 设M(x0, y0)是曲线y  f (x)上一定点，P(x, y)是M附 近一动点，过MP作一条割线， 则 y 是割线MP的斜率.当点P沿着曲线越来越趋近于点 M x 03 04 05 06 07 学生思考 师生共同 归纳，教 师总结， 给出导数 定义 PPT 学生记忆 书写符号 教师指出 教师启发 学生得出 时，x越来越小，而当x  0时，割线的极限位置就是曲线上 一点M处的切线MT； 而割线斜率的极限就是切线MT的斜率， 即 tan  lim y . x0x 其中是切线MT的倾斜角（如图 2-1）所示. y T P(x, y) y  f (x) y M(x0, y0)x  Ox0 x0 xx 图 2-1 上面两个问题体现的共同的思想？ 定义定义设函数y  f (x)在点x0及其左右近旁有定义， 当自 变量在点x0处有增量x时， 函数相应地有增量 y  f (x 0 x) f (x 0 ).如果当x 0 时，比值 y 的极限存在，这个极限值就叫做函数函数y y   f f (x x)在点在点 x / x x0 0处的导数处的导数，记为y | xx0，即 y y/ /| | x x x x0 0  limlim f f ( (x x0 0  x x) )  f f ( (x x0 0) ) y y ，，  limlim  x x0 0 x x x x0 0  x x 函数y  f (x)在点x0处的导数也可记为f /(x 0 )， 或 dy dx xx0 . 函数f (x)在点x0处有导数，简称函数f (x)在点x0可导， 否则称函数f (x)在点x0不可导.如果函数f (x)在区间(a,b)内 每一点处都可导，那么对于每一个x(a,b)，都有一个导数值 f /(x) 与之对应，所以f /(x) 也是x的函数，称其为函数 y  f (x) 的 导 函 数 ， 通 常 导 函 数 也 称 为 导 数 . 记 为 dy //y x , 或 f/(x), 或 .在自变量明确的情形下， y x 也可写作 dx y/. 引例 1 用导数表示为：函数m(x)在x0处的线密度为质量 m(x)在x 0 处的导数m/(x0)； 引例 2 用导数表示为：曲线y  f (x)在M处切线的斜率为 函数y  f (x)在x0处的导数f /(x 0 )，这就是导数的几何意义. 08 09 10 11 教师介绍 导数的概 念在其他 学科的应 用 PPT 教师板书 启发学生 思考总结 步骤 教师讲解 并举例说 明 导数的概念广泛地应用于各门学科之中，在科学技术中常常 把导数叫做变化率，函数y  f (x)在点x0处的变化率即导数 f/(x 0 )，反映的是函数在点x 0 处变化的快慢程度.在实际问题 中，变化率的含义要由函数的实际意义来确定. 问题问题 1[1[电流强度电流强度] ] 电流的大小是用单位时间内通过导线横截面的电量的多少 来描述的 .若电量Q与时间t之间的关系为Q  Q(t)，则在 (t,t  t)时间内，导线的平均电流为 QQ(t  t) Q(t)  tt 在某时刻t的电流为 QQ(t  t)Q(t) i(t)  Q/(t)  lim lim t0 t t0 t 上述导数值越大，说明在t时刻通过导线横截面的电量越多，此 时导线的电流越大. 问题问题 2[2[化学反应速度化学反应速度] ] 化学反应速度是用单位时间内生成物浓度变化的多少来描 述的.若某物质的浓度 N 与时间t的关系为N  N(t)，则在 (t,t  t)时间内，浓度的平均变化率为 NN(t  t) N(t)  tt 那么，该物质在t时刻的瞬时反应速度为 NN(t  t) N(t) N/(t)  lim lim t0 t t0 t 上述导数值越大，说明物质在t时刻的反应速度越快. 二、基本初等函数的导数公式 根据导数的定义， 求函数y  f (x)的导数可分为以下三个步 骤： (1)求函数的增量：y  f (xx) f (x)； (2)算比值： yf (xx) f (x)  ； xx / (3)取极限：y  lim yf (x  x)  f (x)  lim .