直线方程直线方程完美总结归纳

一、倾斜角与斜率一、倾斜角与斜率 直线方程直线方程 1. .直线的倾斜角直线的倾斜角 ①倾斜角：与x轴正方向的夹角 ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角的范围001800 2.2.直线的斜率直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值.记作k  tan( 900) ②当直线l与x轴平行或重合时, 00,k  tan00 0 ③当直线l与x轴垂直时, 900,k不存在. ) x 1  x 2） ④经过两点P的直线的斜率公式是 k  1(x1, y1),P(x2 , y 2 （ y 2  y 1 x 2  x 1 ⑤每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 3.3.求斜率的一般方法：求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式k  y 2  y 1(x 2  x 1) 求斜率； x 2  x 1 ②已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据k  tan来求斜率； 4.4.利用斜率证明三点共线的方法：利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x 1, y1),B(x2 , y 2 ),C(x 3, y3 )，若x 1  x 2  x 3或kAB  k BC ，则有A、B、C三点共线。 考点一考点一斜率与倾斜角斜率与倾斜角 例例 1. 已知直线l的斜率的绝对值等于 3，则直线的倾斜角为（ ）. A. 60°B. 30°C. 60°或 120°D. 30°或 150° 例例 2.2.已知过两点A(m2 2,m23), B(3m2m,2m)的直线l的倾斜角为 45°， 求实数m的值. 考点二考点二三点共线三点共线 例例 1.1.已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 考点三考点三斜率范围斜率范围 例例 1.1.已知两点A(-2,- 3) ,B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线 段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. y 的最大值与 x 例例 2.2. 已知实数x、y满足2x y  8,当 2≤x≤3 时，求 最小值。 二、直线方程直线方程 名称方程的形式已知条件局限性 ①点斜式(x 1, y1) 为直线上一定点，不包括垂直于x轴 的直线 k为斜率 ②斜截式k为斜率，b是直线在y轴不包括垂直于x轴 的直线 上的截距 ③两点式不包括垂直于x轴 和y轴的直线 ④截距式 a是直线在x轴上的非零截 不包括垂直于x轴 距，b是直线在y轴上的非和y轴或过原点的 零截距直线 ⑤一般式 无限制，可表示任 何位置的直线 三、直线的位置关系三、直线的位置关系 1.1.两条直线平行：两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1,l2 ，其斜率分别为k 1,k2 ，则有l 1 // l2  k 1  k 2 特别地，特别地，当直线l 1,l2 的斜率都不存在时，l 1与l2 的关系为平行 2.2.两条直线垂直：两条直线垂直：如果两条直线l 1,l2 斜率存在，设为k 1,k2 ，则有l 1 l 2  k 1 k 2  -1 考点四考点四直线的位置关系直线的位置关系 例例 1.1.已知直线l 1 : x  my  6  0，l 2 : (m  2)x 3y  2m  0，求m的值，使得： （1）l 1 和l 2 相交；（2）l 1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1 和l 2 重合. 例例 2.2.已知直线l 1 的方程为y  2x 3,l 2 的方程为y  4x2，直线l与l 1 平行且与l 2 在y 轴上的截距相同，求直线l的方程。 例例 3.3.ABC的顶点A(5,1), B(1,1), C(2,m)，若ABC为直角三角形，求m的值. 例例 4.4.已知过原点O的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y 轴的平行线与函数y  log 2 x的图象交于C、D两点. （1）证明：点C、D和原点O在同一直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标. 考点五考点五定点问题定点问题 例例 1.1. 已知直线y  kx3k 1.（1）求直线恒经过的定点； （2）当3 x  3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 考点六考点六周长及面积周长及面积 例例 1.1. 已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为 4 的三角形，求直线l的方程． 考点七考点七反射反射 例例1.1.光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6） ，求射入y轴后的反射线的方程. x 1  x 2 x   2 且线段PP的中点M(x, y)的坐标为,P的坐标分别是(x , y ),(x , y )，四、四、1.1.若点P  12121122 y  y 2 y  1  2 2.2.两条直线的交点两条直线的交点 设两条直线的方程是l 1 : A 1x B1 y C 1  0,l 2 : A 2 x B 2 y C 2  0 A 1x B1 yC 1  0 两条直线的交点坐标就是方程组的解。 A 2 x B 2 yC 2  0 ①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. 3.3.两点间的距离：两点间的距离：平面上的两点P 1(x1, y1),P2 (x 2 , y 2 )间的距离公式 4.4.点到直线的距离：点到直线的距离：点P 0 (x o , y 0 )到直线Ax By C  0的距离d  | Ax 0  By 0  C | A B 22 5.5. 两两 条条 平平 行行 线线 间间 的的 距距 离离 ：： 两 条 平 行 线Ax By C 1  0与Ax By C 2  0间 的 距 离 d  |C 1 C 2 | A B 22 考点八考点八点到直线距离点到直线距离 例例 1.1.已知点(a,2) (a  0)到直线l : x  y 3 0的距离为 1，则a=（）. A． 2 B．－ 2 C． 2 1 D． 2 1 例例 2.2. 求过直线l1: y   x  1 3 10 和l2:3x  y  0的交点并且与原点相距为 1 的直线l的方程. 3 考点九考点九平行线的距离平行线的距离 例例 1.1.若两平行直线3x2y 1 0和6xay c  0之间的距离为 2 13c2 ，求的值. 13a 考点十考点十对称问题对称问题 例例 1 .1 .①与直线2x3y6  0关于点（1，-1）对称的直线方程 ②求点A（2，2）关于直线2x4y 9  0的对称点坐标 例例 2 2. 在函数y  4x2的图象上求一点P，使P到直线y  4x 5的距离最短，并求这个最短的 距离. 例例 3.3.在直线l :3x y 1 0上求一点P，使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大。 （2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小。