解阶常微分方程

解一阶常微分方程解一阶常微分方程 1 1. .知识准备知识准备 1. 11. 1 变量分离方程变量分离方程 形如 dy  f (x)(y)(1) dx 的方程，称为变量分离方程，f (x)，(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最 简单的一阶函数． 如果(y)  0，我们可将(1)改写成 了.两边积分，得到 dy  (y) f (x)dxc， dy  f (x)dx，这样变量就分离开来 (y) c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y  y(x,c)就是常微分方程(1)的解． 1. 21. 2 积分因子积分因子 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解． 因此能否将一个非恰当微分 方程化为恰当微分方程就有很大的意义． 积分因子就是为了解决这个问题引进的 概念． 如果存在连续可微函数x, y 0，使得 x, yMx, ydxx, yNx,ydy 0 为一恰当微分方程，即存在函数u，使 Mdx Ndy  du， 则称x, y为方程Mx, ydx Nx, ydy 0的积分因子． 函数x, y为Mx, ydx Nx, ydy 0积分因子的充要条件是 (M)(N) ， yx 即 - 1 - / 12 N MN M ()． xyyx   0，则为原方程的积 x 假设原方程存在只与x有关的积分因子x，则 ( MN ) MNyx 分因子的充要条件是仅是关于x的函 ()，即x Nxyx 数．此时可求得原方程的一个积分因子为 e ( xdx ．同样有只与y有关的积分 MN ) yx 因子的充要条件是y是仅为 y 的函数， 此时可求得方程(11)的一 M 个积分因子为 eydy 1. 31. 3 恰当微分方程恰当微分方程 考虑微分形式的一阶微分方程Mx, ydx Nx, ydy 0(11)，如果该式的左端 恰好是某个二元函数ux, y的全微分，即 Mx, ydx Nx, ydy  dux, y uu dx dy xy 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程 Mx, ydx Nx, ydy 0， 若有 MN ，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微 yx u  Mx, y看作只关于自变量x的函数，对它积分可 x 分方程的解．我们可以把 得u Mx, ydx y，由此式可得 dyu ，Mx, ydx xxdy 又因为有 u  Nx, y，故 x - 2 - / 12 dy  N Mx, ydx， dyx 对该式积分可得 y N     M x, y dx dy，   x   将该式代入，得恰当微分方程的通解为  M x, y dxN M x, y dx dy  c ．     x  2. 2.基本方法基本方法 2. 12. 1 一般变量分离一般变量分离 形如 dy  f (x)(y)( (1) ) dx 的方程，称为变量分离方程，f (x)，(y)分别是x，y的连续函数.这是一类最 简单的一阶函数． 如果(y)  0，我们可将(1)改写成 两边积分，得到 dy  (y) f (x)dxc， c为任意常数．由该式所确定的函数关系式y  y(x,c)就是常微分方程(1)的解． dy  f (x)dx，这样变量就分离开来了. (y) 2. 22. 2 齐次微分方程齐次微分方程 2. 2. 1 齐次微分方程类型一 一阶线性微分方程 dy  Pxy Qx, dx 其中Px,Qx在考虑的区间上是x的连续函数,若Q x 0 ,变为 dy  Pxy, dx 称为一阶齐次线性微分方程,若Qx 0,称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离 - 3 - / 12 方程,易求得它的通解为 y  ce Pxdx, 这里c是任意常数. 2.2.2 齐次微分方程类型二 有些方程本不是可分离变量微分方程的类型， 但经过变量变换可化为分离变量的 微分方程．可分为三种情况来讨论:  1c 1  c 2  0的情形 这时，有 y dya 1 x b 1 y x  g y ydx a 2 x b 2 y x a 2 b 2 x a 1 b 1 因此,只要作变换u  2 y ,则方程就转化为变量分离方程. x a 1 b 1 k的情形. a 2 b 2 这时方程可写为 dyka 2 x b 2 yc 1 fa 2 x b 2 y. dxa 2 x b 2 y c 2 令a 2 x b 2 y  u,则方程化为 du  a 2 b 2 f u . dx 这是变量分离方程. 3 a 1 b 1及c 1 ,c 2 不全为零的情形 a 2 b 2 因为方程右端分子,分母都是x, y的一次多项式,因此 a 1xb1 y c 1  0, a xb y c  0. 22  2 代表Oxy平面上两条相交的直线,设交点为,,若令 - 4 - / 12 X  x ,  Y  y  , 则化为 a 1 x b 1y  0,a x b y  0, 2  2 从而变为 dYa 1 X b 1Y  Y    g . dXa 2 X b 2Y X 因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,,即可得到原方程的解. 2. 32. 3 常数变易法常数变易法 一阶线性微分方程 dy  Pxy Qx, dx 其中Px,Qx在考虑的区间上是x的连续函数,若Q x 0 ,变为 dy  Pxy, dx 称为一阶齐次线性微分方程,若Qx 0,称为一阶非齐次线性微分方程.变易分离 方程,易求得它的通解为 y  ce Pxdx, 这里c是任意常数. 现在讨论非齐次线性方程的通解的求法. 不难看出,是的特殊情形,两者既有联系又有差别 ,因此可以设想它们的解也应该 有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然, 如果中c恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数c变易为x的待 定函数,使它满足方程,从而求出cx,为此,令 y  cxe Pxdx, 微分之,得到 Pxdx dydcx Pxdx e cxPxe. dxdx 以代入得到 - 5 - / 12 dcx dx e Pxdx  cxPxe Pxdx  Pxcxe Pxdx Qx, 即 dcx  Qxe Pxdx dx , 积分后得到 cxQxe