解直角三角形基础讲义

教学内容教学内容 知识点一：锐角三角函数及其计算知识点一：锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: aba sin A ,cos A ,tan A  ccb ★sin A  cos(90  A)  cosB,tan A  sin A ,sin2Acos2B 1 cos A 30°，45°，60°的三角函数值（见下表） 【例】 （1）计算： sin60°·tan30°+cos ² 45°= （2）把 Rt△ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt△A’B’C’，那么锐角 A、A’的余弦值的关系为 （3）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ 1 ，则 sinB＝，cosB= 3 （4）如果 cos A 1  2 3tan B3  0那么△ABC 是 （5）在 ABC中，a,b,c分别是A，B，C的对边，已知a= 10,b 3 2,c 3 2， 则bsinBcsinC的值等于 （6）已知 cosα0.5,那么锐角α的取值范围是 (7)已知 α 为锐角，则m=sinα+cosα 的值（） A．m＞1 B．m=1C．m＜1 D．m≥1 知识点二：解直角三角形知识点二：解直角三角形 在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 仰角和俯角 （2）坡度i  tana（3）方位角 1 【例【例 1 1】】 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆 AB 水平距离 14 米处是河 岸，即 BD＝14 米，该河岸的坡面 CD 的坡角∠CDF 的正切值为 2，岸高 CF 为 2 米，在坡顶 C 处测得杆顶 A 的仰角为 30°，D、E 之间是宽 2 米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在 地面上以点 B 为圆心，以 AB 长为半径的圆形区域为危险区域) A G BE C D F 【例【例 2 2】】 梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图， （图中i 1:3是指坡面的铅直高度 DE 与水平宽度 CE 的比） ，∠B=60°， AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面 ABCD 的面积． （结果保留三位有效数字.参考数据： 3≈1.732，2≈1.414） B AD i i=1: : 3 E 北 C 【例【例 3 3】】如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿P 北偏西30方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到 1 海里） C Q 30 B 40 sin40 ≈0.6428，cos40 ≈0.7660，tan40 ≈0.8391，3≈1.732． 2 A 【例【例 4 4】】如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了 桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．一直BC=11km，∠A=45°，∠B=37°．桥DC和AB平行，则现在从A地到 达B地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km．参考数据：2 1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80） 【例【例 5 5】】由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正南方向 240km 的 B 处，以每小时12km 的速度向北偏东 30°方向移动，距沙尘暴中心 150km 的范围为受影响区 域。 （1）A 城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若 A 城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 【经典习题】【经典习题】 1．雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界” .在一次数学实践活动中，为了测量这座 “千年塔”的高度，雯雯在离塔底139 米的 C 处(C 与塔底 B 在同一水平线上)，用高 1.4 米的测角仪 CD 测得塔项 A 的仰角α=43°(如图)， 求这座 “千年塔” 的高度 AB(结果精确到 0.1 米). （参考数据： tan43°≈0.9325, cot43°≈1.0724） A α D CB 2．如图，一渔船以 32 千米／时的速度向正北航行，在A 处看到灯塔 S 在渔船的北偏东 300，半小时后航行到 B 处看到灯塔 S 在船的北偏东 750，若渔船继续向正北航行到C 处 时，灯塔 S 和船的距离最短，求灯塔S 与 C 的距离。 （计算过程和 结果一律不取近似值）(sin750  6 2 ,cos750 6 2 ) 44 3．如图，已知两座高度相等的建筑物 AB、CD 的水平距离 BC＝60 米，在建筑物 CD 上有 一铁塔 PD，在塔顶P 处观察建筑物的底部 B 和顶部 A，分别测行俯角 求建筑物 AB 的高。 （计算过程和结果一律不取近似值） 3 A A 45°45° D D C C E E F F 37°37°  45 ,3000， B B 4． 如图， 河对岸有铁塔 AB， 在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°， 向塔前进 14 米到达 D， 在 D 处测得 A 的仰角为 45°， 求铁塔 AB 的高。 A CDB 5．下图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB  CD  30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。当太阳光与水 平线的夹角为30°时。试求： 1）若两楼间的距离AC  24m时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？ D300 B 2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？ 甲乙 A 6．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方 300 千米处，以每小时10 7千 米的速度向北偏东 60º 的 BF 方向移动，距台风中心 200 千米的范围内是受这次台风 影响的区域。 （1）问 A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2）若 A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？ 【精选练习】 一、选择题： 1．已知等腰三角形底边上的高等于腰的 00 C 1 2 ，则顶角为（） 00 （A） 30（B） 45（C） 60（D） 90 4 2．菱形 ABCD 的对角线 AC=10，BD=6，则 tan A =（） 2 （A） 343 （B）（C）（D）以上都不对 5534 0 3．在高出海平面 100 米的山岩上一点 A，看到一艘船 B 的俯角为 30 ，则船与山脚的水平距离为 （） （A） 50 米（B）200 米（C）100 3米 （D） 100 3米 3 4．正方形的对角线长为 3，则正方形的面积为 （） 363 （A） 9（B） 2 （C） 2 （D） 2 5．如果三角形的斜边长为4，一条直角边长为 2 3，那么斜边的高为 （） 3 （A） 2 3 （B） 2 （C） 3 （D）2 6．Rt△ABC 中，∠C=90 ，斜边 AB 的坡度为 1：2，若 BCAC，则 BC：AC：BA 等于 （） （A） 1：2： 5 （B）1： 3 ：2（C） 1： 3 :5 （D）1：2：5 7．若从山项 A 望地面 C、D 两点的俯角分别为 45 、30 ，C、D 与山脚 B 共线，若 CD=100 米，那么山高 AB