角动量角动量守恒定理

第五章 角动量角动量守恒定理 本章结构框图本章结构框图 学习指导学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的， 是大学物理教学的重点和难点。许多 同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建 议采用类比方法， 对质量与转动惯量、 动量与角动量、 力与力矩、 冲量与角冲量、 平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒 和角动量守恒……一一加以比较。 本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条 件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题 中的应用。 基本要求基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理， 熟练进行有关计算。 1 6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要内容提要 1.1.基本概念基本概念 刚体对定轴的转动惯量：刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。 定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距 离平方之积的总和。即： I 的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量：质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动 运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1 对质点、质点系、定 轴刚体的角动量进行了比较。 表表 5.15.1质点、质点系和定轴刚体的角动量质点、质点系和定轴刚体的角动量 2 力矩：力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图 5.1）： 即： 大小： 由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题： •区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩： 力对某轴的力矩是力对轴上任 意一点的力矩在该轴上的投影。例如：某力对x、y、z 轴的力矩就是该力对原点 （力×力臂）方向：垂直于决定的平面， 其指向 的力矩在三个坐标轴上的投影： 由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。 •明确质点系内力矩的矢量和恒为零明确质点系内力矩的矢量和恒为零：： 由于内力总是成对出现， 作用力和反 作用力等大、反向、在同一直线上，所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。 当然，对任意轴，内力矩的代数和也恒为零。 •明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩为各外力对 同一参考点的力矩的矢量和，即：。由于一般情况下，各外力的作 用点的位矢各不相同，所以不能先求合力，再求合力的力矩。但是存 在特例：在求重力矩时，可以把系内各质点所受重力平移到质心C，先求出其合 力，再由得到重力的合力矩。 3 由此还可以得到：作用于系统的合外力为零时，合外力矩不一定为零（图 5.2）；系统的合外力矩为零时，其合外力也不一定为零（图 5.3）。 •明确有心力对其力心的力矩恒为零：•明确有心力对其力心的力矩恒为零：力的作用线始终通过某定点的力称为有心 力。该定点称为力心。显然，有心力对其力心的力臂为零。所以，有心力对其力 心的力矩恒为零。 力矩的角冲量（冲量矩）：力矩的角冲量（冲量矩）：见表 5.2 表表 5.25.2力矩的角冲量力矩的角冲量 2.2.基本规律基本规律 角动量定理：角动量定理：质点和质点系角动量定理的微分、积分形式如表 5.3 所示。 请注意刚体定轴转动定律不过是质点系角动量定理在定轴方向上的分量式而已。 表表 5.35.3质点和质点系的角动量定理质点和质点系的角动量定理 4 角动量守恒定律：角动量守恒定律：当质点系所受对某参考点（轴）的合外力矩为零时，质 点系对该参考点（轴）的总角动量不随时间变化（表5.4）。角动量守恒定律反 映了空间的旋转对称性（见第7 章），是自然界普遍适用的基本定律之一，在生 活、技术及科学研究中有非常广泛的应用。 表表 5.45.4角动量守恒定律角动量守恒定律 重点与难点重点与难点 1. 重点 质点，质点系和定轴转动刚体的角动量定义。 刚体定轴转动定律及应用。 5 质点和质点系角动量定理及应用。 角动量守恒定律及应用 2. 难点 ① 区别动量定理和角动量定理。 ② 区别动量守恒定律和角动量守恒定律的条件，并能综合运用。 ③ 动量及动量定理、角动量及角动量定理是否与参考系的选择有关。 1. 1. 动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？动量及动量定理，角动量与角动量定理是否与参考系选择有关？ 质点动量，角动量，由于 v 和 r 都是相对量，与参考系的 选择有关，所以，动量和角动量应与参考系的选择有关。 动量定理和角动量定理只适用于惯性系，对于非惯性系，该两定理不成立。 2. 2. 区别动量定理与角动量定理区别动量定理与角动量定理 动量定理表示质点或质点系的动量改变与质点或质点系所受的合力的时间累积 -- 冲量相对应；角动量定理表示质点或质点系的角动量的改变与质点或质点系 所受的外力矩的矢量和的时间累积 -- 角冲量相对应。 两者是不同的概念。 例如： 有力作用下的质点系（太阳地球系统），地球在太阳引力作用下，动量不断发生 变化，但角动量却始终不变，因引力通过力心（太阳），对力心的力矩始终为零。 3. 3. 动量和角动量守恒的条件动量和角动量守恒的条件 质点或质点系所受合外力为零时，质点或质点系的 动量将保持不变。质点或质点系对某一参考点或参考轴的合外力矩为零时，质点 或质点系对该参考点或参考轴的角动量保持不变。 在实际问题中要认真区别两个 守恒定律成立的条件。许多情况下，系统对某一参考点的力矩矢量和为零时，系 统所受外力不一定为零。即系统角动量守恒时，动量不一定守恒。反之，系统所 受合外力为零时，合外力矩不一定为零，即系统动量守恒时，角动量不一定是守 恒。（参看教材 P.91【例 2】）。 对质点系而言，内力总是成对出现，大小相等方向相反，作用在同一直线上，因 此， 内力的矢量和及内力对某一参考点或参考轴的力矩的矢量和始终为零， 因此， 内力不改变系统的总动量，内力矩不改变系统的角动量。 例例 1 1 水分子的形状如图 5-2 所示。从光谱分析得知水分 子对 AA′轴的转动惯量是，对 6 BB′轴的转动惯量是。 试由此数据和各原子的质量求出 氢和氧原子间的距离 d 和夹角。假设各原子都可当质点处理。 解： 由图可得 此二式相加，可得 上二式相比，可得 例例 2 2 一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多 大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解： 如图 5-3 所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点 P1的角动量的大小 为 汽车对公路上任一点 P2的角动量的大小为 7 例例 3 3 两个质量均为 m 的质点，用一根长为 2a、质量可忽略不计的轻杆相联， 构成一个简单的质点组。如图 5-4 所示，两质点绕固