角平分线、垂直平分线性质专项练习

5.5.角平分线、垂直平分线角平分线、垂直平分线 知识考点：知识考点： 了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。 精典例题：精典例题： 0 【例题】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30 ，AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E， 交 BC 于点 F，求证：CF＝2BF。 分析一：要证明 CF＝2BF，由于 BF 与 CF 没有直接联系，联想题设中 EF 是中垂线，根 0 据其性质可连结 AF，则 BF＝AF。问题转化为证 CF＝2AF，又∠B＝∠C＝30 ，这就等价于要 00 证∠CAF＝90 ，则根据含 30 角的直角三角形的性质可得CF＝2AF＝2BF。 0 分析二：要证明 CF＝2BF，联想∠B＝30 ，EF 是 AB 的中垂线，可过点 A 作 AG∥EF 交 FC 0 于 G 后，得到含 30 角的 Rt△ABG，且 EF 是 Rt△ABG 的中位线，因此 BG＝2BF＝2AG，再设 法证明 AG＝GC，即有 BF＝FG＝GC。 分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD⊥BC 于 D，则 BD＝CD，考虑 0 到∠B＝30 ，不妨设 EF＝1，再用勾股定理计算便可得证。 以上三种分析的证明略。 探索与创新：探索与创新： 【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理： 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两 边对应成比例。如图，△ABC中，AD 是角平分线。求证： 分析：要证 BDAB 。  DCAC BDAB ，一般只要证 BD、DC 与 AB、AC 或 BD、AB 与 DC、AC 所在三角  DCAC 形相似，现在B、D、C 在同一条直线上，△ABD与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。 BDAB 中，AC 恰好是 BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过 C  DCAC BDAB 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E， 从而得到 BD、 CD、 AB 的第四比例项 AE， 这样， 证明  DCAC 我们注意到在比例式 就可以转化为证 AE＝AC。 证明：过 C 作 CE∥AD 交 BA 的延长线于 E 1 2  CE∥AD2  3 1 E  CE∥AD   ∠E＝∠3AE＝AC   BDABBDAB  ∴ DCAEDCAC （1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）； （2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种选出一个填入后面 的括号内（） ①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想 答案：②转化思想 （3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线， AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，求 BD 的长。 答案： 35 cm 9 评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。 跟踪训练：跟踪训练： 一、填空题：一、填空题： 1、如图，∠A＝52 ，O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点，那么∠OCB＝。 2、如图，已知 AB＝AC，∠A＝44 ，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠DBC＝。 0 0 中垂线、 中线、角平分线 第 3 题图 3、如图，在△ABC中，∠C＝90 ，∠B＝15 ，AB 的中垂线 DE 交 BC 于 D 点，E 为垂足，若BD ＝8，则 AC＝。 4、如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE 是 AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为 24，BC＝10，则 AB＝。 5、如图，EG、FG 分别是∠MEF 和∠NFE 的角平分线，交点是 G，BP、CP 分别是∠MBC 和∠NCB 的角平分线，交点是 P，F、C 在 AN 上，B、E 在 AM 上，若∠G＝68 ，那么∠P＝。 二、选择题：二、选择题： 1、如图，△ABC 的角平分线 CD、BE 相交于点 F，且∠A＝60 ，则∠BFC 等于（） A、80 B、100 C、120 D、140 选择第三题 0 2、如图，△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，若∠D＝36 ，则∠C 的度数为（） A、82 B、72 C、62 D、52 3、如图△ABC 的外角平分线 CE∥AB，中线 AF 分△ABC 的周长为 2∶3 两部分，若△ABC 的周 长为 30cm，则它的三边长分别是（） A、8 cm、8 cm、14cm B、12 cm、12 cm、6cm C、8 cm、8 cm、14cm 或 12 cm、12 cm、6cm D、以上答案都不对 4、如图，Rt△ABC中，∠C＝90 ，CD 是 AB 边上的高，CE 是中线，CF 是∠ACB 的平分线，图 中相等的锐角为一组，则共有（） A、0 组 B、2 组 C、3 组 D、4 组 5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定 三、解答题：三、解答题： 1、如图，Rt△ABC 的∠A 的平分线与过斜边中点 M 的垂线交于点 D，求证：MA＝MD。 2、在△ABC 中，AB≠AC，D、E 在 BC 上，且 DE＝EC，过 D 作 DF∥BA 交 AE 于点 F，DF＝AC， 0 0000 0000 0 0 00 求证：AE 平分∠BAC。 3、如图，在△ABC 中，∠B＝，∠C＝60 ，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，BD＝6 2，AE⊥BC 0 于点 E，求 EC 的长。 4、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90 ，AC＝BC，D 为 BC 的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC 交 CE 的延长线于点 F，求证 AB 垂直平分 DF。 0 参考答案参考答案 一、填空题：一、填空题： 1、38 ； 2、24 ； 3、4； 4、14； 5、68 二、选择题：二、选择题： １．C２．B３．C４．D５．B 三、解答题：三、解答题： 1、证明：过 A 作 AN⊥BC 于 N，则∠B+∠C=∠B+∠BAN=90° ∴∠C=∠BAN ∵M 是 BC 的中点 ∴AM=CM ∴∠CAM=∠C=∠BAN ∵AD 是∠A 的平分线 ∴∠BAD=∠CAD 000 ∴∠DAN=∠MAD ∵AN//DM ∴∠ADM=∠DAN=∠MAD ∴MA=MD 2、证明：延长 FE 到 G，使 EG＝EF，连结 CG， ∵∠DEF=∠CEG，DE=CE ∴△DEF≌△CEG ∴DF=CG，∠DFG=∠G ∵DF＝AC ∴AC=CG ∴∠CAG=∠G=∠DFG ∵DF∥BA ∴∠BAG=∠DFG=∠CAG ∴AE 平分∠BAC 3、连结 AD，DF 为 AB 的垂直平分线，AD＝BD＝6 2，∠B＝∠DAB＝ ∴∠ADE＝45 ，AE＝ 0 22 6 2＝6 AD＝ 22 又∵∠C＝60∴EC＝ 0 AE 3  6 3  2 3 4、证明：∵∠CAD+∠ADC=∠BCF+∠ADC=90° ∴∠CA