相似三角形之常用辅助线【贱贱精编版】

相似三角形之常用辅助线相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、 计算的过程中，常常需要通过相似三角形， 研究两条线段之 间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分 明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造专题一、添加平行线构造“A”“X”“A”“X”型型 定理：定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的 三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例例 1 1、、平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 中点，AF：FD＝1：2，求 AG：GC D F G A E 变式练习：变式练习： C F G BA E D C B 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证： ．（本题有多种解法，（本题有多种解法，多想想）多想想） AB AC BD CD 第 一 页 共 六 页 例例 2 2、、如图，直线交△ ABC 的 BC,AB 两边于 D,E,与 CA 延长线交于 F,若 求 BE:EA 的比值. BDFC ＝=2， DCFA F A E BDC 变式练习：变式练习： 如图， 直线交△ ABC 的 BC,AB 两边于 D,E,与 CA 延长线交于 F,若 求 BE:EA 的比值. BDFE ＝=2, DCED F A E BDC 例例 3 3、 、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DF A D E B C 变式变式 1、如图，△ ABC 中，ABAC，在 AB、AC 上分别截取 BD=CE，DE，BC 的延长线相交于点 F，证明：AB·DF=AC·EF。 第 二 页 共 六 页 例例4 4、、 已知： 如图， 在△ABC中， AD为中线， E在AB上， AE=AC， CE交AD于F， EF∶FC=3∶5， EB=8cm，求 AB、AC 的长. 变式：变式：如图， B A FEF BDAE1AF  ，求。 （试用多种方法解） CDDE2BF A E F A E D C BD CBD C 说明：说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活， 思路 要开阔． 总结：总结： （（1 1）遇燕尾，作平行，构造）遇燕尾，作平行，构造字一般行。字一般行。 （（2 2））引平行线应注意以下几点： 引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点 作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 专题二、作垂线构造相似直角三角形专题二、作垂线构造相似直角三角形 一、基本图形一、基本图形 A D E F B C C A D B 第 三 页 共 六 页 例例 1 1、、如图，ABC中，AB  AC，BDAC，那么BC  2CACD吗？试说明理 由？（用多种解法） 变式练习：变式练习：平行四边形 ABCD 中，CE⊥AE，CF⊥AF，求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2 F DC 2 A BE 例例 2 2、、如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FGAB 于 G，求证：FG =CFBF 2 第 四 页 共 六 页 专题三、作延长线专题三、作延长线 例例 1 1、、如图，RtABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为 CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F，FGAB 于 G，求证：FG =CFBF 2 专题四、作中线专题四、作中线 ABC中，例例 1 1、、 如图，AB⊥AC， AE⊥BC 于 E， D 在 AC 边上， 若 BD=DC=EC=1， 求 AC。 【练习】【练习】 1． 如图， 一直线与△ABC的边AB， AC及BC的延长线分别交于D， E， F。 求证： 若 则 D 是 AB 的中点。 A D E BC F AEBF  ， ECCF 第 五 页 共 六 页 2．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，BD=3CE，DE 交 BC 于 F，求 DF：FE 的值。 A D C B F E 3.已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，求 AE：EC。 A E M CB D 4、 如图，ABC的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD＝AE，DE 延 BFBD  长线与 BC 延长线相交于 F，求证： CFCE B D AC F E 第 六 页 共 六 页