经典研材料裂项相消法求和大全精编文档

【最新整理，下载后即可编辑】 开一数学组教研材料开一数学组教研材料 （裂项相消法求和之再研究（裂项相消法求和之再研究）） 张明刚张明刚 一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项 基本类型：基本类型： 1.形如 1 11 n(nk)  1 k ( 1 1 n  1 nk )型。如n n＋1 ＝n－n＋1； 2.形如an＝ 1 2n－12n＋1 ＝ 111 2 ( 2n1  2n1 )型； 3. a (2n)2 n  (2n1)(2n1) 1 1 2 ( 1 2n1  1 2n1 ) 4. a 1 n  n(n 1)(n  2)  1 2 [ 1 n(n 1)  1 (n 1)(n  2) ] 5. a n  212(n 1)  n111 n  n(n 1)  2  n(n 1)  2n2n1  (n 1)2n ,则S n 1 1 nn  (n 1)2n 6.形如a＝ n＋1 nn2n＋22型． 7.形如a 4n1 n＝4n－14n＋1－1 ＝3  1 4n1  1 4n11   型； 8. n＋1 n（n－1）·2n＝ 2n－（n－1）11 n（n－1）·2n＝（n－1）2n－1－n·2n. 9.形如an＝ 1 n nk  1 k  nkn  型； a n  1 (n 1) n  n n 1 10. 1 a b  1 a b  ab  11.nn!n 1 !n! 12.C m1m n  C n1 Cm n 13. a n  S n  S n1 n 2 14. tantan tan tan tan() 1 15.15.利用两角差的正切公式进行裂项利用两角差的正切公式进行裂项 把两角差的正切公式进行恒等变形，例如 tan()  tan tan 1 tantan 【最新整理，下载后即可编辑】 可以 另一方面，利用 tan1 tan  k 1 k tan(k 1) tank  tan(k 1)  tank 1, tan1 tan(k 1)  tan k 1 tan(k 1) tan k ，得 16利用对数的运算性质进行裂项 对数运算有性质 log a M  logM logN，有些试题则可以构造这种形式 N 进行裂项. 1717利用排列数或组合数的性质进行裂项利用排列数或组合数的性质进行裂项 排列数有性质 nn! (n 1)!n!，组合数有这样的性质C n m C n m 1  C n m1，都 可以作为裂项的依据. 例例 7 7 求和：11!22! nn! _____ 分析分析直接利用nn! (n 1)!n!可得结果是(n 1)!1. 18.18.求和： S n  C 2 2 C 3 2 C n 2.有C k 2 C k 3 1  C k 3，从而S n  C 2 2 C n 3 1  C 3 3 C n 3 1 . 裂项相消法求和之再研究 一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项 一、多项式数列求和。 （（1 1）用裂项相消法求等差数列前）用裂项相消法求等差数列前 n n 项和。即形如项和。即形如 a n  anb的数列求前 的数列求前 n n 项和项和 此类型可设 a n  (An2 Bn)[A(n1)2 B(n1)] anb左边化简对应系数相 等求出 A,B。 则S n  a 1 a 2 a 3 2 a n 2  (A B)0(4A2B)(A B)(9A3B)(4A2B) (An  Bn)[A(n1)  B(n1)]  An2 Bn 例 1：已知数列 a n的通项公式为 a n  2n1，求它的前 n 项和S n 。 解：令a n  (An2 Bn)[A(n1)2 B(n1)] 2n1 则有a n  2An B A=2n1 2A  2 A 1  B A  1B  0 a n  n2(n1)2 S n  a 1 a 2 a 3 a n  b m1n m1b m2n m2 n2(n1)2 n2a n 12213222 （（ 2 2 ）） 用用 裂裂 项项 相相 消消 法法 求求 多多 项项 式式 数数 列列 前前n n项项 和和 。。 即即 形形 如如 b 1nb0 的数列求前的数列求前 n n 项和。项和。 【最新整理，下载后即可编辑】 此类型可设a n (c mn mc m1n m1c 1n)[cm (n1)mc m1(n1) m1 b 1nb0 c 1(n1)]  b m1n m1b m2n m2 上边化简对应系数相等得到一个含有 m 元一次方程组。 说明：解这个方程组采用代入法，不难求。系数化简可以用二项式定 理，这里不解释。 解出 c 1 ,c 2 ,,c m 。再裂项相消法裂项相消法用易知S n c mn mc m1n m1c 1n 例 2：已知数列 a n的通项公式为 a n  n3，求它的前 n 项和S n 。 解：设 a n  （An4 Bn3 Cn2 Dn） [A(n 1)4 B(n 1)3 C(n 1)2 D(n 1)]  A(4n3 6n2 4n 1) B(3n2 3n 1) C(2n 1) D  4An3 (6A  3B)n2 (4 A  3B  2C)n  (A  B  C  D)  n3 1 A   4 4A 1  1 6A  3B  0  B   2 4A  3B  2C  0 1 C   A  B  C  D  0 4   D  0 111111 a n  （ n4n3n2） [ (n1)4(n1)3(n1)2] 424424  n(n1)(n1)n      2  2  22 22 二、 222 12 231234 23 S n            22222   n(n1)(n1)n n(n1)       22  2  222 二、多项式数列与等比数列乘积构成的数列。 （（1 1）） 用裂项相消法求等比数列前用裂项相消法求等比数列前 n n 项和。项和。 即形如即形如 a n  aqn的数列求前 的数列求前 n n 项和。项和。 这里不妨设这里不妨设q 1。。 （（q 1时为常数列，前时为常数列，前 n n 项和显然