等腰三角形+角平分线

第一部分：知识点回顾第一部分：知识点回顾 角平分线的性质及判定：角平分线的性质及判定： 1 1、角平分线：、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2 2、角平分线的性质定理：、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点①平分线上的点；②点 到边的距离；到边的距离； 3 3、角平分线的判定定理：、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理， 如何把文字叙述转化成数学符号： 例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言：角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言：角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，PD=PE ∴点 P 在∠AOB 的平分线上 等腰三角形的性质及判定：等腰三角形的性质及判定： 1. .等腰三角形等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边， 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定 性质 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质 2 等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、 底边上的高互相重合 （简称为 “三 线合一”） 判定判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等 （简称为“等角对 等边”） 3.等边三角形等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.5.等边三角形有关判定等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形. 6.6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题第二部分：典型例题 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为 D，E，BE，CD 相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。 求证∠１＝∠２． 四边形 ABCD 中，AD∥BC，AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC，点 E 恰在 DC 上，∠C=∠D=90°。 （1）求证：AE⊥BE （2）猜想 AB、AD、BC 之间有何数量关系？请证明你的结论。 如图，D、E、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF，△DCE 和△DBF 的面积相等． 求证：AD 平分∠BAC． 如图，某铁路 MN 与公路 PQ 相交于点 O，且夹角为 90° ，其仓库 G 在 A 区，到公路和铁 路距离相等，且到公路距离为5cm． （1）在图上标出仓库 G 的位置． （比例尺为 1：10 000，用尺规作图） ． （2）求出仓库 G 到铁路的实际距离。 如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数. 如图，△ABC 中 BA=BC，点 D 是 AB 延长线上一点，DF⊥AC 于 F 交 BC 于 E，• 求证：△DBE 是等腰三角形． D B E A 已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°． 求证：BD= FC 1 AB． 4 C B DA 第三部分：思维误区第三部分：思维误区 一、忽视“垂直”条件 例 1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF 为∠BAC 的平分线。 错误解法： CF  BF 点F在CAB的平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上） 正确解法： ∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知） ∴∠CDF=∠BEF=90° ∵∠DFC=∠BFE(对顶角相等)，BF=CF(已知) ∴△DFC≌△EFB(S.S.A.) ∴DF=EF(全等三角形对应边相等) ∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知） ∴点 F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线 上) 即 AF 为∠BAC 的平分线 错因：在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直” 的条件。 在解等腰三角形的问题时，当给出的条件（如边、角）情况不明时，一般要分两种情况 逐一分析。否则，易出现错解或漏解的错误。 一、考虑不周造成的错误一、考虑不周造成的错误 例例 1 1、已知等腰三角形一边长为7，另一边长为 3，求它的周长。 错解错解：当腰长为 7 时，底边长为 3。所求周长为：7×2+3=17 当腰长为 3 时，底边长为 7。所求周长为：3×2+7=13 剖析剖析：错解分腰长为7 或 3 两种情况求周长貌似严密，但3+3=6＜7 违背了三角形的三边关 系定理，犯了考虑不周的错误。 正解正解：当腰长为 7 时，底边长为 3。所求周长为：7×2+3=17 当腰长为 3 时，底边长为 7。所求周长为：3×2+7=13 但当三角形的三边长为 3，3，7 时，3+3=6＜7 违背了三角形的三边关系定理，不能 为成一个三角形。 所以所求周长为 7×2+3=17。 二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏二、腰大于底的习惯思维造成的疏漏 例例 2 2、、已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成12 ㎝和 15 ㎝两部 分，求这个三角形腰长和底边长。 错解：错解：∵BD 为等腰△ABC 的中线 ∴AD=DC 设 AB 为 x ㎝ ，BC 为 ycm. x  x 15  2  x   y 12  2 解得 x 10 y  7 所以这个三角形腰长为 10 ㎝，底边长为 7 ㎝。 剖析剖析：在处理等腰三角形的问题时， 有的同学习惯上总认为腰大于底， 这是造成错误的原因 所在。事实上本题有两种情况。 正解正解：此题有两种情况： ∵BD 为等腰△ABC 的中线 ∴AD=DC 设 AB 为 x ㎝ ，BC 为 ycm. x  x 15  2 (1) x   y 12  2 解得 x 10 y  7 x  x 12  2 或 (2) x   y 15  2 解得 x  8 y 11  所以这个三角形腰长为 10 ㎝，底边长为 7 ㎝或腰长为 8 ㎝，底边长为 11 ㎝。 三、概念不清造成的错误三、概念不清造成的错误 例例 3 3、已知在等腰三角形中，一个角是另一个角的2 倍，求等腰三角形三个内角的度数。 错解错解：设等腰三角形的顶角为x°，则底角为 2 x°。 根据题意，得 x+2x+2x=180 解得 x=36 ∴2x=72 ∴这个等腰三角形的三个内角为：36°、72°、72°. 剖析：剖析：错误在于误认为等腰三角形的底角一定大于顶角， 是概念不清造成的错误想法。 本题 应分底角大于或小于顶角两种情况解答。 正解正解：当等腰三角形