矩形、菱形、正方形经典难题复习巩固

DSEDSE 金牌数学专题系列金牌数学专题系列经典专题系列第经典专题系列第 4 4 讲讲 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 一、一、 导入导入 老先生与服务生老先生与服务生 老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求 效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？ 老先生笑着回答： “为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题， 为什么我要因为他而改变自己的心情?” 大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的 幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。 二、二、 知识点回顾知识点回顾 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形 1.1.性质：性质： （1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四 边形的所有性质． （2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线 平分一组对角．③具有平行四边形所有性质． （3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直 平分，每条对角线平分一组对角． 2 2．判定：．判定： （1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的 平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形． （2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形． （3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等 的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 3.3.面积计算：面积计算： （1）矩形：S=长×宽； （2）菱形：S  （3）正方形：S=边长 1努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团 2 1 l 1 l 2 （l1、l2是对角线） 2 三、三、 专题讲解专题讲解 考点一、特殊平行四边形的性质 【例１】【例１】 如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB 的度数和 BD 的长. 解：解：由矩形的性质可知 OD=OC. 又由 OE∶BE=1∶3 可知 E 是 OD 的中点. 又因为 CE⊥OD，根据三线合一可知OC=CD,即 OC=CD=OD，即△OCD 是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°. 又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8, 即 BD=2OD=2CD=16. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的 C 点落在 B′M 或 B′M 的延长线上, 那么∠EMF 的度数是() A.85°B.90°C.95°D.100° 解析：解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′= 111 ∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°答案答案: :B 222 考点二、考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形 【例【例 ２】２】如图,在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E. 又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 是菱形. 答案答案: :证明：∵∠ACB=90°，DE 是 BC 的中垂线， ∴E 为 AB 边的中点. ∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°， ∴△ACE 为正三角形. 在△AEF 中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而 AF=CE， 又 CE=AE, ∴AE=AF. ∴△AEF 也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴ACEF. 2努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团 ∴四边形 ACEF 为平行四边形. 又 CE=AC，∴平行四边形 ACEF 为菱形. 如图，在ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD． ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， Y ∴AE= 11 AB，CF=CD． 22 ∴AE=CF． ∴△ADE≌△CBF． （2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵AG∥BD， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE=BE． ∵AE=BE， ∴AE=BE=DE． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴2∠2+2∠3=180°． ∴∠2+∠3=90°． 即∠ADB=90°， ∴四边形 AGBD 是矩形． 考点三、作辅助线构造特殊平行四边 【例【例 3 3】】如图 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上一点，BE=ED，P 是对角线 BD 上任意一点，PF⊥BE,PG⊥AD,垂足 分别为 F,G.求证：PF+PG=AB 如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点，点 P 是 BC 边上一动点，PE⊥MC， PF⊥BM，垂足分别为 E、F， （1）当四边形 PEMF 为矩形时，矩形 ABCD 的长与宽应满足什么条件？ （2）在（1）中，当点 P 运动到什么位置时，四边形 PEMF 变为正方形？为什 3努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团 么？ 考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题 【例【例 4 4】】如图,在一张长 12 cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点 的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC， ∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二） ，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法 中，哪种菱形面积较大？ 解：解： （方案一）S 菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4× ×6×=30（cm2）. （方案二）设 BE=x，则 CE=12-x, ∴AE=BE2 AB2 1 2 5 2 25 x2. 因为四边形 AECF 是菱形，则 AE2=CE2, ∴25+x2=(12-x)2. ∴x= 119 . 24 1 2 119 ≈35.21(cm2). 24 ∴S 菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2× ×5× 经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3 3，BC=6，沿 EF 折叠后，点C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q 处，AD 与 PQ 相交于点 H，∠BPE=30°． 4努力+勤奋+信心=成功戴氏教育集团 （1）求 BE、QF 的长． （2）求四边形 PEFH 的面积． 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考 生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需