空间立体几何建系练习题

空间立体几何建系设点专题 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间 分析， 只需建立空间直角坐标系进行向量运算， 而如何建立恰当的坐标系，成为 用向量解题的 关键步骤之一所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算 1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD _ AD，PA_底面ABCD， PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM//平面PAD; (2)在侧面PAD内找一点N，使MN_平面PBD; (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 19.(本題满分直分) 正方形曲与矩形ABCDABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2AB=2AD=2 t t 点E%ABE%AB的中点. (1 )求证：轲“平面A^DEtA^DEt (H)求二面角DSEDSE①的大卜 (III)求多面体AyDyDBE AyDyDBE的休积* 3.已知多面体ABCDE中，AB丄平面ACD,DE丄平面ACD, AC = AD = CD = DE =2a,AB = a,F为CD的中点. (I)求证：AF 丄平面CDE; (U)求异面直线 AC,BE所成角余弦值; ( 所成二面角的大小 4.如图，四边形ABCD是正方形，PB丄平面ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA, (I)证明：AC//平面PMD; (U)求直线 BD与平面PCD所成的角的大小； (川)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小。 5.已知斜三棱柱 ABC - AB。, . BCA =90“,AC二BC =2, A 在底面 ABC上 的射影恰为AC的中点D，又知BA _ACi (I)求证：ACi_平面 ABC ; (II)求 CCi到平面 AAB 的距离； (III)求二面角 A-AB-C 的大小。 6.(湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD 的高都为2,AB=4. (1) 证明：PQ丄平面ABCD; (2) 求异面直线AQ与PB所成的角； (3) 求点P到平面QAD的距离. 图I 7.(全国卷 U 理科第19题)在直三棱柱 ABC-ABQi中，AB=BC,D、E 分别 为B% AG的中点. (1) 证明：ED为异面直线 BBi与 ACi的公垂线； (2) 设AA =AC =：：；2AB，求二面角 几- AD -G的大小. 图 2 8.如图，平面PAC_平面ABC,ABC是以AC为斜边的等腰直角三角 形, E,F,O 分别为PA,PB,AC的中点，AC =16,PA二PC =10. (I)设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE; (II)证明：在ABO内存在一点M，使FM _平面BOE，并 求点M 到OA,OB的距离. 9.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B1C1D1 中，底面ABCD为等腰梯形， AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E1、F 分别是棱AD、 AA1、AB的中点。 (1)证明：直线EE1//平面FCC1； (2)求二面角B-FCi-C的余弦值。 10.如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面ABCD是矩形. 已知AB =3, AD =2, PA =2, PD = 2 . 2, PAB = 60. (I)证明AD_平面PAB; (n)求异面直线 PC 与AD所成的角的大小； (川)求二面角 P - BD - A 的大小. 1.在正方体A—Ci中，E、F分别为 所成的角的正弦值为() AB.sin—3.sin空 33 2.如图，正三棱柱ABC-ABG中， 高三立几建系设点专向练习 DiCi与AB的中点, 6 则AiBi与截面AIECF C.sin - AB=AA D都不对 BBCC所成的角的正弦 2 值为() ，则AC与平面 3 2 3.已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1, 求异面直线BD与BiC的距离。 4.四棱椎P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PCD为正三角形, 平面 PCD _平面 ABCD,PB_AC ,E 为 PD 中点. (1) 求证：PB//平面AEC (2) 求二面角E—AC—D的大小. 5.如图，已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，PA _平面ABCD, .ABC =60 ,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明：AE _ PD； ⑵若H为 PD 上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为于，求二 面角E -AF -C的余弦值. 6.如图，ABCD是边长为a的菱形，且/BAD=60°， △PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD (1) 求COS〈AB，PD〉的值； (2) 若E为AB的中点，F为PD的中点，求|EF|的值; (3) 求二面角P—BC—D的大小 7.如图，四棱锥P- ABCD中，PA 丄底面ABCD，PC丄 AD .底面ABCD为梯 形， AB//DC，AB_BC.PA二AB二BC，点 E 在棱 PB 上，且 PE=2EB . (1)求证：平面 PAB 丄平面PCB; (2)求证：PD // 平面EAC; (3)(理)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值. p 8.三棱锥C-OAB的底面OAB是边长为4的正三角形，CO _平面OAB且 CO =2，设D、E分别是OA、AB的中点。 (I)求证：OB//平面CDE; (II)求二面角O-DE-C的余弦值. 9.如图所示，AF、DE 分别是圆 O、圆Oi的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直, AD =8.BC是圆 O 的直径，AB =AC =6,OE//AD. (I)求二面角 B-AD-F 的大小； (II)求直线 BD 与 EF 所成的角的余弦值.