祖暅原理与球的体积

延边大学研究生教案（案例教学）延边大学研究生教案（案例教学） 周 次 章 节 名 称 教学 目的 要求 第周，第次课 祖暅原理与球的体积 ①让学生了解“实验数学”的含义，经历“实验、猜测、论证”等有 意义的学习数学过程； ②帮助学生理解运用祖暅原理解决问题的过程； ③让学生从直观上把握相关几何体体积之间的关系。 教学 重点：理解运用祖暅原理解决问题 重点 难点：把握相关几何体体积之间的关系 难点 讲授法（√）谈话法（） 讨论法（）演示法（√） 实验法（√）练习法（） 读书指导法（√ ） 事实性（案例）教学策略（√） 直观（活动、情景剧）教学策略（√） 联系实际（体验、诊断）教学策略（√） 情感态度（感悟）教学策略（） 教学 方法 教学 策略 教学组织课堂教学（√）团队学习（）专题研讨（） 形式现场教学（√）案例分析（√）教育调查（） 学生学习科学探究模式（√）自主学习模式（） 模式合作学习模式（）“读读、议议、讲讲、练练”的模式（√） 本教案采用“自测”、“猜想”、“实验”、“证明”等环节的 设计方法，旨在让学生对“做数学”的过程有一个完整的认识。本设 计的一个主要特点是引入实验。许多数学发现都源于实验——观察、 试验、猜测、验证。正如弗赖登塔尔所说：“从事创造性数学的人都 知道， 在与数学相关的任何问题中直觉比严密的逻辑过程起着更为重 要的作用”。而在数学教学中适当引入实验，对思维过程及数学思想 案例讨论 的培养都十分有利。它体现出“数学是做出来的——作为活动，数学 的课前准 是动态的可创造的，结论或操作程序未知的。”而学生的数学学习过 备阶段 程是一种“再创造”。 事实上，通过“细沙实验”，学生不但可以对球的体积公式较容 易理解，而且可以加深公式的记忆。 ①提出问题V球=? 为了计算半径为R的球的体积，可以先计算半球的体积。让学生 自测圆柱、半球、圆锥散着体积的大小，得V圆柱V半球V圆锥 R R 1 3 33 由于 V圆柱= R ，V圆锥= 3  R是已知的，便得  R V半 1 33 球3  R ,可以先引导学生猜想V半球=？（其中，可将  R 的系数1 331  33  333 改写为，得R V半球R。 ） 案例 请学生将此实验结果用式子表达出来： 12 33RR 3 V半球=V圆柱-V圆锥=R-3= 3 4 R3 于是V球= 3 且V圆柱：V半球：V圆锥=3:2:1 ③下面验证这个实验结果，即证明图 5-2左边充满细沙的半球与 右边充满细沙的几何体是等体积的，而右边的几何体体积是已知的 12 3RR3 3 V=R-3= 3 如果能证明它又符合祖暅原理中的“条件” ，我们就可以将它作 为半球的“参照体”了。 为了运用祖暅原理，引入的几何体必须符合两个条件：一是计算 公式是已知的；二是符合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要 夹在两个平行平面之间， 且用平行于这两个平面的任意一个平面截得 的截面面积总相等。 符合以上两个条件的几何体可叫做原几何体的参 照体，在前面推导柱、锥的体积时已多次引用此术语。 图5-2中两几何体同高（R） ，故可夹在两个平行平面之间，剩下 的问题是证明两个等距截面的面积相等。 用与底面平行的任一平面去截图5-2的两个几何体，截面分别是 圆面和圆环面（图5-3） 。如果截面和平面 的距离为l，那么圆面的半 径r= 图5-3 L P R2l2 ，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为l，因此 l O l O 22 2 (R l ) r S圆== R l  (R l ) S圆环= 2222 所以S圆=S圆环 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 V半球= R R R 333 1 3 2 3 4 R3 故V球= 3 到此， “猜想”得到证明，可写成： 定理 如果球的半径是R，那么它的体积是 4 R3 V球= 3 （4）怎么记忆这个结论呢？让学生给出。 事实上： 根据“细沙实验” ， 12 3RR3 3 V半球=V圆柱-V圆锥=R-3= 3 4 R3 于是V球= 3 只要记住 V圆柱：V半球：V圆锥=3:2:1即可 采用拟柱体体积公式可得 14 3R 2 V球=6·2R（0+4R+0）= 3 还有其他的记忆方法吗？比如，将球体分割成许多小的椎体， 球心是这些小锥体的顶点， 锥得底面是球面的一小部分 （曲面）（图 5-4） 。 于是， 等于许多小锥体体积之和，而这些小锥体的高可视为 球半径R。又因为所有小锥体底面积之和=球面积= 4R，从而 2 图5-4 114 R3 2 2 V球=3· （S 1 +S 2 +…）h=3·4R·R = 3 虽然这不能作为球体积公式的证明， 但是拟柱体、小锥体和球 体的这种“默契” ，给人们以和谐的感觉。 （5）请同学们自己解答下面的问题： 有一种空心钢球， 重142g， 测得外径等于5.0m， 求它的内径 （钢 的密度是7.9g/cm ）这是课本上的例题，可以请一位同学板演。 （6）教师：今天这堂课的关键是构造一个球的参照体，而“细 沙实验”帮助我们解决了这个问题。你能离开实验，经过分析直接构 造这个参照体吗？ 案例讨论 案例中引入实验如何设计更能吸引孩子的注意力 的问题 1.本课的教学重心应该放在培养学生经历“实验、猜测、论证”的学 课堂讨论习方法上 2.突破的关键点在哪里？ 案例讨论1.探究式教学应用，着重引导学生建构实验、猜测、论证的学习方法 的总结综2.设计时要照顾学生的知识起点，地域，环境等差异 述3.根据学生不同基础设计差异化的练习 3