直线与圆解法

高考中数学直线和圆的解法高考中数学直线和圆的解法 1 1、直线的倾斜角、直线的倾斜角： （1）定义定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点 按逆时针方向转逆时针方向转到和直线直线l重合重合时所转的最小正角最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直 线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为 0； （2）倾斜角的范围倾斜角的范围 0,。 5 如（如（1 1））直线xcos3y  2  0的倾斜角的范围是____（答：[0， ]U [，)） ； （（2 2）） 66 2 过点P( 3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围[,],那么m值的范围是 ______（答： 33 m  2或m  4） 2 2、直线的斜率、直线的斜率： （1）定义定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝ tan(≠90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率； （2）斜率公式斜率公式：经过两点P 1(x1, y1) 、P 2 (x 2 , y 2 )的直线的斜率为k  直线的方向向量直线的方向向量a  (1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系 （4）应用应用：证明三点共线：k AB  k BC 。 提醒：提醒： （1）直线的倾斜角α一定存在，但斜率不一定存在。 （2）直线的倾斜角与斜率的变化关系：若直线存在斜率 k，而倾斜角为α，则 k=tan α.当倾斜角是锐角是，斜率 k 随着倾斜角α的增大而增大。当α是钝角时，k 与α同增 减. （3）斜率的求法： r y 1  y 2 x 1  x 2 ； （3） x 1  x 2   依据倾斜角：k  tan ，  ， 2  K 牢记图像 α O 依据两点的坐标：k  y 2  y 1 x 1  x 2  x 2  x 1 依据直线方程：化为斜截式 当已知 k，求倾斜角α时： k≥0 时，α=arctank；k0 时，α=π+arctank。 （4）直线l的方向向量之一： a 1，k （你知道如何由直线的方向向量来求斜率吗） 如如(1)(1) 两条直线斜率相等是这两条直线平行的 ____________条件（答：既不充分也不必 要） ； （（2 2））实数x, y满足3x2y5  0(1 x  3)，则  y 的最大值、最小值分别为______（答： x 2 ,1） 3 3 3、直线的方程、直线的方程： （1）点斜式点斜式：已知直线过点(x 0 , y 0 )斜率为k，则直线方程为y  y 0  k(x x 0 ),它不包括 垂直于x轴的直线。 （2）斜截式斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y  kxb,它不包括 垂直于x轴的直线。 （3）两点式两点式：已知直线经过P 1(x1, y1) 、P 2 (x 2 , y 2 )两点，则直线方程为 它不包括垂直于坐标轴的直线。 （4）截距式截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为 垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （5）一般式一般式：任何直线均可写成Ax ByC  0(A,B 不同时为 0)的形式。 xy 1，它不包括 ab y  y 1 x  x 1， y 2  y 1 x 2  x 1  如如 （（1 1）） 经过点 （2， 1） 且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________ （答： y 1  3(x2)） ； （（2 2）） 直线(m2)x(2m1)y(3m4)  0， 不管m怎样变化恒过点______ （答：(1,2)） ； （（3 3））若曲线y  a| x|与y  xa(a  0)有两个公共点，则a的取值范围是 _______（答：a 1） 提醒提醒： (1)(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式 呢） ； (2)(2)直线在坐标轴上的截距可正、 可负、 也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为1 或直 线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为1或直线过原点。 如如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4. 4.设直线方程的一些常用技巧设直线方程的一些常用技巧： （1）知直线纵截距b，常设其方程为y  kxb； （2）知直线横截距x 0 ，常设其方程为x  my  x 0 (它不适用于斜率为 0 的直线)； （3）知直线过点(x 0 , y 0 )，当斜率k存在时，常设其方程为y  k(x x 0 ) y 0 ，当斜率k不 存在时，则其方程为x  x 0 ； （4）与直线l : Ax By C  0平行的直线可表示为Ax  By C 1  0（C  C1） ； （5）与直线l : Ax By C  0垂直的直线可表示为Bx Ay C 1  0. （6） 已知直线 l1： A1x+B1y+C1=0， 直线 l2： A2x+B2y+C2=0， 则方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 表示过 l1与 l2交点的直线系（不含 l2）.不仅可以建立直线方程还可解决直线过定点问题. 提醒提醒： （1）求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 （2）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式. （3）求一个角的平分线所在的直线方程的方法： 法一、利用角的平分线所在的直线的方向向量 u ru u r ①由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v 1 、 v 2 ； u ru u r r vv 21 u②求出角平分线的方向向量v  u ru r v 1 v 2 ③由点斜式或点向式得出角平分线方程。 r x x 0 y  y 0{直线的点向式方程：过 P（x 0 , y 0 ） ，其方向向量为v(a,b)，其方程为} ab 法二、利用角平分线定理： 法三、利用点到直线的距离公式：设P(x, y)为角平分线所在直线上的任意一点，通过 P(x, y)到两边距离相等而得. 5 5、点到直线的距离及两平行直线间的距离、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点P(x 0 , y 0 )到直线Ax ByC  0的距离d  Ax 0  By 0 C A  B 22 ； （2）两平行线l 1 : Ax  By C 1  0,l 2 : Ax  By C 2  0间的距离为d  提醒提醒： （1）公式要求直线方程为一般式. C 1 C 2 A  B 22 。 （2）求平行直线间的距离时，一定要把 x、y 项系数化成对应相等的系数. 6 6、直线、直线l 1 : A 1x B1 y C 1  0与直线与直线l 2 : A 2 x B 2 y C 2  0的位置关系的位置关系： （1）平行A 1B2  A 2 B 1  0（斜率）且B 1C