小学奥数行程问题之追和问题

小学奥数行程问题之追和问题 奥数第七讲奥数第七讲行程问题（一）行程问题（一）——追及问题——追及问题 四年级奥数教案四年级奥数教案 第七讲第七讲行程问题（一）行程问题（一） ——追及问题——追及问题 解决追及问题的基本关系式是： 路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差 在解决追及问题中，我们要抓住一个不变量，即追赶者所用时间与被追赶者所用的时间是相等的，都等于追 及时间。大家还要注意区别“追及距离”与“追赶者追上被追赶者所走的距离”这两个量之间的区别。就像 刚才的例子，“追及距离”为150 米，而狗追上兔一共走了3×150=450（米） 二、新授课： 【例 1】甲、乙两人相距 150 米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60 米，乙每分钟走 75 米，两人同时向南出 发，几分钟后乙追上甲？ 【思路分析】这道问题是典型的追及问题，求追及时间，根据追及问题的公式： 追及时间=路程差÷速度差 150÷（75-60）=10（分钟） 答：10 分钟后乙追上甲。 【小结】提醒学生熟练掌握追及问题的三个公式。 【例 2】 骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450 米处，行人每分钟步行60 米，两 人同时出发，3 分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？ 【思路分析】这道题目，是同时出发的同向而行的追及问题，要求其中某个速度，就必须先求出速度差，根 据公式：速度差=路程差÷追及时间： 速度差：450÷3=150（千米） 自行车的速度： 150+60=210（千米） 答：骑自行车的人每分钟行210 千米。 【小结】这道题目在于灵活运用追及问题的三个基本公式求其中任意三个量。 【例 3】两辆汽车从 A 地到 B 地，第一辆汽车每小时行54 千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽 车先行 2 小时后，第二辆汽车才出发，问第二辆汽车出发后几小时追上第一辆汽车？ 【思路分析】根据题意可知，第一辆汽车先行2 小时后，第二辆汽车才出发， 1 / 8 小学奥数行程问题之追和问题 画线段图分析：从图中可以看出第一辆行2 小时的路程为两车的路程差，即54×2=108（千米），两车相差 108 米，第二辆车去追第一辆车，第二辆车去追第一辆车，第二辆车每小时比第一辆车每多行63-54=9（千 米），即为速度差，用 追及时间=路程差÷速度差。 解：（1）两车路程差为：54×2=108（千米） （2）第二辆车追上所用时间：108 ÷（63-54）=12（小时） 答：第二辆车追上第一辆车所用的时间为12 小时。 【小结】这道追及问题是不同时的，要先算出追及路程。 【及时练习】 1、哥哥和弟弟两人同时在一个学校上学，弟弟以每分钟80 米的速度先去学校，3 分钟后，哥哥骑车以每分 钟 200 米的速度也向学校骑去，那么哥哥几分钟追上弟弟？ 2、姐妹两人在同一小学上学，妹妹以每分钟50 米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10 分钟出发，为了 不迟到，她以每分钟 150 米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？ 三、课堂小结： 追及问题的基本公式：路程差=速度差×追及时间； 速度差=路程差÷追及时间； 追及时间=路程差÷速度差 四、作业：思维训练 五、课后反思： 第二课时 教学时间： 教学内容：环形跑道的追及问题 教学目标：掌握不同形式的追及问题的解题思路和基本规律 教学重点：通过图形分析追及问题 教学难点：找准解决环形路程的追及问题的突破口 教学过程： 一、复习：追及问题的三个基本公式。 二、新授课： 【例 4】一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车平均每分钟骑300 米，乙跑步，平均每分钟跑250 米，两人 2 / 8 小学奥数行程问题之追和问题 同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇? 【分析与解】 当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1 圈， 即甲乙的距离差为 400 米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。 解：①甲乙的速度差：300-250=50（米） ②甲追上乙所用的时间：400÷50=8（分钟）答：经过8 分钟两人 相遇。 【及时练习】 两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时同地同向出发， 经过 45 分钟甲追上乙，如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 【例 5】在周长 400 米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60 米和 50 米的速度，同时同向出 发，沿圆周行驶，问 2 小时内，甲追上乙多少次？ 【分析与解】此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长 的一半，400÷2=200（米），当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400 米 为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时 间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2 小时内甲追上乙的次数。 解：2 小时=120 分甲第一次追上乙所用的时间： 400÷2÷（60-50）=20（分） 甲第二次开始每追乙一次所用的时间： 400÷（60-50）=40（分） 甲从第二次开始追上乙多少次： （120-20）÷40=2 次……20 秒 甲共追上乙多少次：2+1=3（次） 答：甲共追上乙 3 次。 【小结】这类环形跑道的追及问题一定要明确路程差和速度差。 【及时练习】在周长为300 米得圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒7 米，每秒 5 米的骑车速 度同时顺时针方向行驶，20 分钟内甲追上乙几次？ 【例 6】在480 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3 分钟 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？ 同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400 米才能与乙相遇，400 米正好是两人的路程 3 / 8 小学奥数行程问题之追和问题 差，除以甲追赶乙所用的3 分 20 秒，可知甲、乙的速度差。 背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400 米，400 米正好上两人的路程总和除以40 秒 相遇时间，可知甲、乙的速度和。 这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分 别是多少？ 解：3 分 20 秒=200 秒 甲、乙的速度和：400÷40=10（米） 甲、乙的速度差：400÷200=2（米） 甲的速度为每秒多少米？（10+2）÷2=6（米） 乙的速度为每秒多少米？（10-2）÷2=4（米） 答：甲的速度为每秒 6 米，乙的速度为每秒 4 米。 【小结】这类题目是相遇问题和追及问题的结合，以及和差问题的综合运用。 【及时练习】甲、乙两地相距450 米，A、B 两人从两地同时相向而行，经过5 分钟相遇，已知 A 每分钟比 B 每分钟慢 6 米，求 A、B 两车的速度各是多少米？ 三、课后练习： 反向而行 同向而行 1、一圆形跑道周长 300 米，甲、乙两人分别从A、B 两端同时出发，若反向而行1 分