向量数量积的运算律教案新人教B版

数学：数学：2.3.22.3.2《向量数量积的运算律》教《向量数量积的运算律》教 案（新人教案（新人教 B B 版必修版必修 4 4）） 数学学科必修 4 模块第二单元教学设计方案 第七学时～第八学时:第一方案 课题：向量数量积的定义及运算率教学目标 1、知识与技能 ①理解平面向量数量积物理意义及其几何意义。 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。 ③掌握平面向量数量积的性质、运算律和几何意义。 2、过程与方法 通过物理中“功“的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此 基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想 方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力 3、情感态度价值观 利用向量具有丰富的现实背景和物理背景使学生体会数学与 现实生活以及其他学科的联系，从中感受数学的应用价值。 教学重点 本节教学的重点是平面向量数量积的定义及性质和向量数量 积的运算律 教学难点 对平面向量数量积的定义、性质、运算律的理解和应用 教学关键 利用物理背景启发学生探究向量数量积的定义，运用几何直 观引导学生理解定义实质，揭示定义的几何意义 教学方法 将数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程有机结合 起来，使用讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和 发现式学习相结合，不断引导学生的概括活动实现的。 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图时间反思引言 教师介绍数学发展历程。 注意情感教育， 教师引言：对问题的深入研究来源于人类对知识的永不满足， 正如过去学过的实数，人们不仅认识实数的分类，还研究实 数的运算，并且进一步想弄清楚运算有无规律可循，当然， 幸运的是，我们有了“交换率、结合率、分配率“等等，当向 量进入我们的视野时，我们与生俱来的好奇心又起作用，“ 向量是数吗？““能算吗？ “ 调动学生参与课堂学习活动的兴趣和积极性 1 复习提问 承前启后回顾已学习的向量运算 由前面的学习，我们已经知道，向量的运算要比实数的运算 复杂的多，不仅有大小还要考虑方向，已经定义了向量的什 么运算？这些运算的结果是什么？以加法为例说明我们是按 照怎样的顺序研究这种运算的？ 期望学生回答： 物理模型→概念→性质→运算律→应用 还可能定义什么运算？ 期望学生回答：向量相乘 复习向量有关运算 2 引入新课 以物理背景引入 实际上，在物理课上，我们已经多多少少知道了一些：如图 所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S， （1）力 F 所做的功 W=。 （2） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是量， F（力）是量， S（位移）是量， α 是。 我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其 客观背景和现实意义的； 问题 1：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将 公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 期望学生思考后回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的 乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 教师要让学生明白：本节课所要研究的数量积与向量的加法、 减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相 比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的 变化，运算结果是实数。学生事实上已经得到数量积概念的 文字表述了，在此基础上，自然引进数量积的定义 回答后归纳夹角特征：两个向量同起点，若不同起点平移至 同起点。回答问题 1 后定义夹角： P107 设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，概念。4 定 义给出 数量积的定义 定义:已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积），记作：·， 即：·= ︱︱·︱︱cos 在此可以强调 “请同学们用一句话来概括功的数学本质：显然功是力与位 移的数量积“ 学生应用公式完成 例 1 已知： |a|=5，|b|=4， 〈a，b〉 =1200，求 a?b 注意：①=0·=0②“·“并非实数运算 中的乘号，既不能写成““也不能省略 在强调记法和“规定“后，为了让学生进一步认识这一概念， 提出问题 问题 2：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？ 影响数量积大小因素有哪些？完成下表：角的范围 0°≤90°=90°0°≤180°·的符号 不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质 的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因 素， “补充“通过前后呼应达到强化理解、加深认识的目的。 通过此环节为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺 垫。对角的范围做好分类讨论的准备 5 数量积的性质 探究数量积的性质 设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量 1?e?a = a?e =|a|cos〈a，e〉 2?a?b a?b = 0 且 a?b = 0 a?b 3? a?a = |a|2，即 4?cos〈a，b〉= 5?|a?b| ≤ |a||b| 学生分组探究，两个向量的数量积的性质， 教师指导探究活动，体现特殊化的思想， 数形结合思想，基本运算能力培养 问题 3：简要叙述性质的特征和功能 1?单位向量的特征？ 2?为什么 a?b = 0 可以用于判断 a、b 垂直？ 3?a?a = |a|2，即的主要功能是什么？ 4?如何求夹角？ 练习：P109/练习 A：1（3）2（1） 培养学生自主探究，引导学生动手动脑解决问题 5 数量积的 几何意义 向量在轴上的正射影定义： 已知向量和轴 l，作=，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足 分别为 O1、A1，则向量叫做向量在轴 l 上的正射影（简称射 影），该射影在轴 l 上的坐标称作向量在轴 l 上的数量或在 轴 l 的方向上的数量 由此我们知道了向量的数量积的代数定义，总感到意犹未尽， 有没有几何特征呢？ 由上述定义我们已经得知：两个向量的数量积是一个实数， 可以是正数、负数、零，其几何含义见 P108/图 2-50 =在轴l上的正射影的坐标记作：al，向量的方向与轴l的正 向所成的角为 θ ，则由三角函数余弦定义可知：al=cosθ 5 应用 体会公式，应用练习 P108/例 1：了解：向量在轴 l 上的正射影（向量）的坐标在 轴 l 上的数量 2 向量数量积的运算律 向量数量积的运算律 1、 交换律 a?b = b? a 2、 分配律 （a+b）?c =a?c +b?c 3、 λ （a?b） =（λ a）?b = a（λ ?b） 从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数 量乘法那样满足某些运算律，从向量数量积的定义和几何意 义出发，回答下列问题，课下分组探究运算律， 问题 3：向量问题解决思路 问题 4：单位向量的功能 创设情境，引发思考 3 应用举例 例 3、求证： ①（+）2=2+.+2 ②（+）?（-）=2_2 例 4、求证：菱形的两条对角线互相垂直 （用向量解决几何问题） 教师引导：考虑运用向量的数量积的性质和运算律，板书 例 3、求证：①（+）2=2+.+2 学生证明②（提示：结论可直接应用） 例 4（线形运算已涉及）要求学生画出图形，已知条件转化 为符号语言，并在图像上找到对应哪条有向线段？ 步骤：用向量表示几何关系进行向量运算 还原为几何结论 教师通过板书证明：针对学生比较陌生的内容，说明每部依