振动理论习题解答

第二章习题第二章习题 2—1一重块W 100N，支承在平台上，如题 2-1 图所示。重块下联结两个弹簧，其刚 度均为k  20N /cm。在图示位置时，每个弹簧已有初压力F 0 10N。设将平台 突然撤去，则重块下落多少距离？ W kk 题 2—1 图 解答解答：由题可知：弹簧在初始时的形变L0 设重块将下落 h m，则： 22W.h  1 2 k[(h L)  L ] F 0 10 cm  0.5cm k20 于是：h  4cm 2-3．求题 2-3 图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为G，两端 固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为l1和l2。 解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： J 恢复力矩： 由动静法得 GI p l 1  GI p l 2 2 GI p l 1 l 2  Jl 1l2 GI  GI J pp   0 l 2  l 1 因此 2-4 一均质等直杆 AB，重为 W，用两相 同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4 图所示。 且 I p  f  d4 32  2 由以上各式得 1 f  2 d4Gl 1 l 2  32Jl 1l2 线长为l， 两线相距为2a。试推导 AB 杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出 其固有频率。 aa T l T  A F b  W b B  解：AB 杆绕重心摆动，则： 惯性力矩:J 恢复力矩: 2Fa 其中 :F T cosT aWa  ll 则 :J2Fa  0 Wa 即 :J 0 l mm 2 又有:J  2b b2 123 3Wa2 则 : 0 mlb2 a3g = bl 固有频率:f  1 a3g  22bl 2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N·c ㎡，跨度为 L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁 跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度 K=5kN/cm，重块质量 W=4kN,求两种弹簧的固有频 率。 (a) (b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度 l 3mg( ) 3mgl 2  3EI48EI k 1  mg  48EI l3 （a）图可以看作弹簧和杆的并联 48EI k e1  k k 1  3 k l 1 f 1  2 k e1 m弹簧质量系统的固有频率 已知 EI=2E10 N·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN 代入数据得 f 1 11.14Hz （b）图可以看作弹簧和杆的串联 k*k 1k e2  k k 1 代入数据得 所以 1 f 2  2 k e2 m f 2  4.82Hz 2—9 一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5 个周期之后减少了 50%。试 求系统的相对阻尼系数。 【解】由（2-33）式得 A 1 2  e5 e5(T1) A 6 两端取对数，得ln2 5(T 1)  10 12  则：12 ln22ln22  10121002 频 率 。  0.0221 2—10列 出 题 2 — 10 图 所 示 系 统 的 振 动 微 分 方 程 ， 并 计 算 其 振 动 解：系统运动时的受力如上所示 由动静法原理可得： ab A  0  mxl  c xa  k  xb  0  ll ca2k b2  2  x   2  x  0 m x ll ca2kb2 令Ce 2 ， K e  2ll 则 KCebk 2 ，W eW  mlm2mw  ca2b k 2W d 1W 1  2wml2  lm  振动频率： 1 4kml2b2 a4c2 22ml 2—11如 题2—1图 所 示 轴 承 ， 轴 的 直 径d  2cm,l  40cm剪 切 弹 性 模 量 2 G 8*106N /cm2 。 圆 盘 饶 对 称 轴 的 转 动 惯 量 为J 10kN·cm·s2, 并 在 M 5sin2t(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。 解：惯性力矩 J  恢复力矩 2 •• 2-11 GI p l 微分方程 J2 •• GI p l  5sin2t 所以，振幅 B  5 2 GI p l  J(2)2 已知d  2cm,l  40cm，G 8*10 N /cm，J 10kN·cm·s, 代入数据得B  0.0672rad 2—12 已知一弹簧系统，质量块重W 196N，弹簧刚度 k  20N /cm ，作用在质量块上 的力为 F 16sin19t ，而受阻力为R  2.56v。 F、R 的单位均为 N ，t的单位为 s，v 的 单位为 cm/s 。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子； （2）考虑阻力时，质量块 622 的位移和放大因子。 解：系统运动方程为： 系统的稳态响应：  cx   kx  F 0 sin 0t m x x 2 (t)  F 0 k sin( 0t  ) (12)2(2)2  其中：  0 19 1.9 2  2010 9.8 196 cc  2m400 2  arctan() 12  忽略阻力时，即， c  0, 则  0， 0  放大因子： 1 （ 1） （2） x 2 (t)  2 22  0.383 则系统的响应为： F 0sin 0t  0.306sin19t k 1 0.64rad c  2.56N s/cm （2）考虑阻力时，则：  放大因子： 1 (1) (2) 2 22  0.28  0.75 x 2 (t)  F 0sin( 0t  )  0.224sin(19t 0.75) k 1 则系统的响应为： 2—13一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为2s，弹簧刚度为k 30N /cm，黏性阻 尼系数c  N.s/cm。求在外力F  20cos3t(N)作用下的振幅和相位角。 解答：由题可知：   0 3cc15*3  ； 0 0.5 22m2k2*30*1.5 由于 F 0  20N 则 B  F 0 1 . 0.342cm 22 k (1) (2)  arctan( 2 ) 129 48 21 2---14试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件t  0，x0 =x0=0 和质量块上受有 F=F 0 sint时的响应。 解：阻尼较小时，即1，系统响应为 t(Ccos d t  Dsin d t)  Bsin( 0t  )x  e x  et(Ccos d t  Dsin d t) e