初中数学解题教学设计初探

初中数学解题教学设计初探 一、问题的提出 1.学生解题过程中普遍存在的问题 著名的数学教育家波利亚说过： “中学数学教学的首要 任务就是加强解题的训练”但目前学生在解题过程中还存在 一些问题： 基本概念理解不深刻，基本运算易失分。 审题阅读有待加强，对应用题、文字量大的试题有恐惧 心理。 书写格式不规范，数学语言表达不严密。 对陌生题束手无策，尽管有些学生做题不少，一旦碰到 没做过的，失误较多，甚至有些题找不到解题思路。 2.当前解题教学设计存在的误区 对于学生解题中存在的问题，我们要反思自己的解题教 学设计.在数学解题教学设计中，常见的形式是“例题讲解、 学生模仿、变式训练” .即教师通过思考，发现了解决问题 的逻辑思路，将这种逻辑思路传递给学生，然后由学生进行 模仿训练和变式训练.这种一招一式的归类， 缺少观点上的提 高或实质性的突破，对问题的“提出 “和 “应用” 研究不足。 现代意义上的“解题教学设计”注重的是解决问题的过 程、策略以及思维方法，更注重解决问题过程中情感、态度 和价值观的培养。 基于此，本文旨在以新的视角重新审视解题教学设计， 想方设法将这种逻辑环节转化为学生发现问题思路的心理 环节。 二、基于心理取向的解题教学设计 基于心理取向的教学设计，重在对学生探究发生问题思 路的认知结构分析，针对学生思维活动的序列展开，适应学 生的心理需求，通过不断地提出问题，研究问题，在此过程 中，针对具体问题的特征，萌生具体的数学观念，并检验这 些观念正确与否，从而决定再生观念等的多伦循环过程 。 那么如何实现解题教学设计的心理取向呢？我们看一 个具体解题教学的例子。 例 1 如图， 已知抛物线 y= x2+bx+c （b， c 是常数， 且 c0） 与 x 轴分别交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧） ，与 y 轴的 负半轴交于点 C，点 A 的坐标为（-1，0） 。 （1）b= ，点 B 的横坐标为 （上述结果均用含 c 的代 数式表示） ； （2） 连接 BC， 过点 A 作直线 AE∥BC， 与抛物线 y= x2+bx+c 交于点 E.点 D 是 x 轴上一点，其坐标为（2，0） ，当C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的 一动点，连接 PB，PC，设所得△PBC 的面积为 S。 ①求 S 的取值范围； ②若△PBC 的面积 S 为整数，则这样的△PBC 共有 个。 （1） （2）学生很容易解答出来，结论为（1） +c，?2c； （2）y= x2? x?2.关于（3）的思路：①分两种情况进行讨论： （Ⅰ）当?1x0 时，由 0SS△ACB，易求 0S5； （Ⅱ）当 0 x4 时，过点P 作 PG⊥x 轴于点 G，交CB 于点 F.设点 P 坐 标为（x， x2? x?2） ，则点F 坐标为（x， x?2） ，PF=PG?GF=? x2+2x，S= PF?OB=?x2+4x=?（x?2）2+4，根据二次函数的性质 求出 S 最大值=4，即 0S≤4.综上 0S5；②由 0S5，S 为 整数， 得出 S=1， 2， 3， 4.分两种情况进行讨论：（Ⅰ） 当?1x0 时，根据△PBC 中 BC 边上的高 h 小于△ABC 中 BC 边上的高 AC= ，得出满足条件的△PBC 共有 4 个； （Ⅱ）当 0 x4 时， 由于 S=?x2+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条 件的△PBC 共有 7 个；则满足条件的△PBC 共有 4+7=11 个。 教师设计这道解教学的思路可以划分为以下几个环节： （1）从教师自己获得的解题思路中定位关键环节； （2）追 踪获得解题思路时处理关键环节的数学观念的源头； （3）揣 摩并模拟学生萌生处理关键环节的数学观念指令的心理活 动过程 。 针对例 1 的思路，教师需要确定教学设计的关键环节在 于两个“数学观念”的形成： （1）①中面积的求法由于点 P 位置的变化需要进行分 类讨论； （2） 由①中求得的 S 的范围为基础， 获得△PBC 的个数， 不妨称为“枚举”的数学观念。 师：要求△PBC 的面积取值范围，大家有什么想法？ 生 1：如果能够获得面积 S 的一个表达式，就能求出范 围，可是，我不知道如何获得这个表达式.我尝试过割和补的 方法，都不行。 生 2： 我在尝试求面积时发现如果点 P 在抛物线 AC 段运 动时，面积 SS△ACB 即 0S5，可以不求 S 的表达式.但是点 P 在抛物线 BC 段运动时，我就看不出来了。 生3： 如果能找到△PBC这个三角形的底和高就好办了？ 师：如果我们单纯地以 PC、PB、CB 为底，好像没法找 到相应的高，怎么处理呢？ 生 4：既然以以 PC、PB、CB 为底，没法找到相应的高， 那么我想能不能过点 P 作 轴交 于 ，把它分成三角形 和三 角形 。 师：真是好想法！大家试探生 4 同学的这种想法能否实 现。 生 5：我发现了。 当 0 x4 时，过点 P 作 PG⊥x 轴于点 G，交 CB 于点 F. 设点 P 坐标为（x， x2? x?2） ，则点 F 坐标为（x， x?2） ， PF=PG?GF=? x2+2x，S= PF?OB=?x2+4x=?（x?2）2+4，根据二 次函数的性质求出 S 最大值=4，即 0S≤4。 生 6： 我得到了， 当?1x0 时，0S5； 当 0 x4 时，0S ≤4.综上 0S5。 师：很好！生 4 的创造性观念的贡献已经由生 5 和生 6 解决.那么当 为整数时，这样的三角形有几个呢？ 生 7：由 0S5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4.我想我 们还是可以分两种情况进行讨论： （Ⅰ）当?1x0 时，根据 △PBC 中 BC 边上的高 h 小于△ABC 中 BC 边上的高 AC= ， 得 出满足条件的△PBC 共有 4 个； （Ⅱ）当0 x4 时，我还没想 法，考虑的太多了，有点乱。 生 8：当0 x4 时，由于S=?x2+4x，分别令S=1，2，3， 4，求出相应的x 的值，得出满足条件的△PBC 共有 7 个；则 满足条件的△PBC 共有 4+7=11 个. 这种设计的最大特点就是教师没有将自己精心思考得 到的解题思路按照整理好的逻辑表达过程直接提供给学生， 而是利用学生已经生成的关于求面积的想法，打破思维定势， 将解题思路的逻辑表达转化为学生从自己的心理发展过程， 提高了解题教学的有效性. 三、结语 数学解题思路表达的逻辑过程要求简练合理，数学解题 思路发生的心理过程要求自然流畅，这两者的合理整合是教 学设计的理想状态.在我们的教学设计中， 力求达到两者的平 衡，将知识产生的逻辑过程利用学生已掌握的数学观念进行 心理解释.如果教师在解题教学设计时如果能创造性地提出 环环相扣又不道明的提示语，让学生养成这样的习惯，掌握 这样的方法，形成这样的意识，那么学生的心灵就能从眼睛 的专制中解放出来.于是这种依据数学知识发生的逻辑线索， 偏向于学生数学知识生成的心理过程，整合这两者的优势， 促进数学教学的高层次目标的实现的基本保证. 参考文献： 张昆.整合数学教学设计的取向――基于知识发生的逻