毕业论文---基于MATLAB的李萨如图形研究

下载后可任意编辑 目录 1.引言1 2.李萨如图形的物理模型2 2.1李萨如图形的形成原理2 2.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形3 2.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释4 2.4李萨如图形中振子的能量4 3.MATLAB模拟李萨如图形6 3.1 MATLAB软件的简单介绍6 3.2 MATLAB模拟两列正弦波合成李萨如图形6 3.2.1物理建模6 3.2.2程序设计6 3.2.3 规律分析以及现象说明9 3.3 广义李萨如图形的合成9 3.3.1单一方向上信号振幅衰减对李萨如图形的影响9 3.3.2单一方向上信号频率衰减对李萨如图形的影响10 3.3.3信号衰减对振子能量的影响12 4.广义李萨如图形在界面设计工具箱中的模拟14 4.1 用户界面介绍14 4.2 部分主要代码15 4.3 操作和程序代码的说明16 4.4 simulink合成李萨如图形18 结束语19 参考文献19 基于MATLAB的李萨如图形讨论 摘要：质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合振动的轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形。通过MATLAB软件可以绘制李萨如图形，由花样特征以及能量可以推断出信号强度、振幅的衰减。利用MATLAB自带的guide工具箱，设计出了李萨如图形绘制平台，并可以同时绘制含三角波、方波的广义李萨如图形。 关键词：Matlab；李萨如图形；波动 abstract: . keywords: Matlab； Lissajous‘ figures；Wave 下载后可任意编辑 1.引言 质点在相互垂直的分振动频率比成有理数的情况下，合成振动轨迹为稳定的曲线，曲线的花样与分振动的频率、初相位有关，得出的图形叫李萨如图形（Lissajous‘ figures）[1-3]。法国科学家李萨如最初通过音叉的振动得到李萨如图形。由于李萨如图形的花样与振动频率有关，因此可以通过李萨如图形的花样推断二分振动的频率比，假如知道某一分振动的频率，则由已知频率可测量未知频率，这在光学测量[4]、电学测量[5]、核磁共振[10]技术中占有重要的地位，可以达到很高的精度。电学测量中，我们使用示波器得到李萨如图形，并根据边缘切点的数量比得到待测信号和基准信号的频率比，并由此得出待测信号的频率。 但是在实际的理论讨论中，我们希望得到各种频率的花样，甚至得到非理想正弦波情况下的李萨如图形，即广义的李萨如图形[6]。这样的情况下，由于实验设备本身的电漂，温漂，显示图像不稳定，实验不易成功，而且信号的强度、频率都不容易控制，为了方便教学讨论，许多教学工作者通过FLASH等软件制作了动画，以便学生能够直观地认识李萨如图形的形成过程以及花样特点，但是对于非正弦型的波动无法合成，这种情况下，用计算机模拟实验就不失为一种简单高效的方法[7]。MATLAB R2024a软件作为模拟仿真实验工具，可以全面、系统地绘制、分析各种李萨如图形。利用MATLAB R2024a的用户界面设计工具箱guide，设计出了界面简单、功能比较全面的模拟仿真平台，用一种更为高效的手段讨论李萨如图形的特点。 2.李萨如图形的物理模型 在漆安慎的力学教材[2]中，李萨如图形是在波动的章节里介绍了李萨如图形，通过李萨如图形来加深对波动叠加的理解。要得到李萨如图形，机械装置一般选择摆，但是操作难度较大，所以大多情况下，选择示波器来演示李萨如图形。不论选择哪种方式，都是通过两列正弦波（或余弦波）的合成来演示李萨如图形。对于不太复杂的图形，在数学上可以通过参数方程来定义。 图2.1 示波器、计算机绘制、激光演示得到的李萨如图形 2.1李萨如图形的形成原理 假定有一质点独立地参加了两个相互垂直方向的振动，不考虑其势能，并且在每个方向上满足简谐振动的条件。在两个方向上分别满足如下振动形式 在x方向上 ·····························································（2-1） 在y方向上 ·····························································（2-2） 我们用两个向量表示x、y方向上质点的振动，如图1所示，两个随时间旋转的向量末端在坐标内确定的点p的轨迹就是李萨如图形。 p X Y 图2.2 向量合成李萨如图形 2.2两列完全相同的正弦波合成的李萨如图形 在李萨如图形的讨论中，两列完全相同的正弦波的合成，往往能得到稳定而易于分析的图形花样，而且在理论推导上也具有简明的特点，易于我们做理论分析和实验模拟，在许多版本的力学教材中，也是以两列完全相同的正弦波合成为例，介绍了李萨如图形的花样，以及根据花样确定频率比，相位差等。下面我们以此为例，介绍李萨如图形的方程以及推导过程。假定有一质点独立地参加了两个相互垂直方向上的振动，并且分别满足简谐振动规律。 质点在x方向的位移随时间的变化 ································································（2-3） 质点在y方向的位移随时间的变化 ·································································（2-4） 式（2-3）（2-4）展开以后并适当变形得到 ··················································（2-5） ·················································（2-6） 得到 ·············································（2-7） 得到 ·········································（2-8） 式（2-7）平方与式（2-8）平方相加 ·······································（2-9） 分析得到如下结果 当的值为时，合成的轨迹为长轴为A（或B），短轴为B（或A）的椭圆，假如A、B相等，则为圆形。 当的值为时，合成的轨迹为一条线段，斜率为。 备注：此方程的得出，是两个方向的振动频率比为1:1的情况，不具有普遍性[10] 2.3李萨如图形的闭合性以及周期性解释 从质点振动的式（2-1）、式（2-2），我们可以看出，x、y两个方向上，质点的振动都是周期性的，其合成的结果也必定是周期性的。在x方向上，质点的运动周期为，在y方向上，质点的运动周期。也就是说，x方向上，每经过时间质点回到原点，y方向上，每经过的时间质点回到原点。每经过和的最小公倍数T，质点总能在两个方向上同时回